Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P có 1 vecto pháp tuyến n(-1,2,-3) và cắt các trục Ox , Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C. Biết rằng thể tích khối tứ diện OABC bằng 6 và điểm A có hoành độ dươn...

Để viết phương trình mặt phẳng P, ta cần tìm được 1 điểm trên mặt phẳng và vecto pháp tuyến của mặt phẳng. Vì điểm A có hoành độ dương, nên ta có thể chọn A là điểm có tọa độ (a, 0, 0) với a > 0. Gọi D là giao điểm của đường thẳng OA với mặt phẳng P. Ta có: - Vecto OD song song với vecto n của mặt phẳng P, do OD nằm trên mặt phẳng P. - Thể tích khối tứ diện OABC bằng 6, nên theo công thức tính thể tích khối tứ diện, ta có: $\frac{1}{3} \cdot OA \cdot AB \cdot AC = 6$ $\Rightarrow OA \cdot AB \cdot AC = 18$ Vì A có tọa độ (a, 0, 0), nên ta có: $OA = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a$ Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên trục Oz. Ta có: - Vecto OH vuông góc với mặt phẳng P, do H là hình chiếu của D lên trục Oz. - Vecto OH song song với vecto n của mặt phẳng P, do OH nằm trên mặt phẳng P. Vậy vecto pháp tuyến của mặt phẳng P chính là vecto OH. Ta có: - Tọa độ của H là (0, 0, z), với z là tọa độ của D trên trục Oz. - Đường thẳng OA có phương trình tham số: $\frac{x}{a} = \frac{y}{0} = \frac{z}{0}$ Kết hợp với phương trình mặt phẳng P: $-x + 2y - 3z + d = 0$ Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} -a + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + d = 0 \\ -a + 2 \cdot 0 - 3z + d = 0 \\ -a + 2z - 3 \cdot 0 + d = 0 \end{cases}$ Giải hệ phương trình này, ta được: $\begin{cases} a = 3 \\ z = 1 \\ d = 0 \end{cases}$ Vậy phương trình mặt phẳng P là: $-x + 2y - 3z = 0$