Cho hình bình hành ABCD . Một đường thẳng d cắt AB, BC, BD lần lượt tại M, N, I. Chứng minh rằng: BA/BM + BC/BN = BD/BI

Ta có: - Từ tam giác BMN, ta có: BA/BM + BC/BN > BN/BM + BM/BN >= 2. - Từ tam giác BDI, ta có: BD/BI >= 2. Do đó, ta có: BA/BM + BC/BN > 2 và BD/BI >= 2. Ta sẽ chứng minh rằng: BA/BM + BC/BN = BD/BI. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng d cắt AB, BC, BD tại M, N, I, ta có: BA/BM * MN/NC * CI/IB = 1. Tương tự, áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD và đường thẳng d cắt AB, BC, BD tại M, N, I, ta có: BD/BI * CI/AN * NM/MB = 1. Nhân hai vế của hai phương trình trên, ta được: (BA/BM * BD/BI) * (MN/NC * CI/AN) * (NM/MB * IB/CI) = 1. Do đó, ta có: BA/BM * BD/BI = 1/(MN/NC * CI/AN * NM/MB * IB/CI) = AN/AM * CM/CN. Từ đó, suy ra: BA/BM + BC/BN = AN/AM * CM/CN + CN/CM * AM/AN = (AN*CN + AM*CM)/(AM*AN) = BD/BI. Vậy ta đã chứng minh được rằng: BA/BM + BC/BN = BD/BI.