Làm bà theo phương pháp thế và phương pháp công

Bài 3: a) $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2}x+y=5 & \\ x+(1+\sqrt{2})y=2 & \end{matrix}\right.$ Từ phương trình đầu tiên, ta có $y = 5 - \sqrt{2}x$. Thay vào phương trình thứ hai, ta có: $x + (1 + \sqrt{2})(5 - \sqrt{2}x) = 2$ $x + 5 + 5\sqrt{2} - \sqrt{2}x - 2x = 2$ $(1 - \sqrt{2} - 2)x + 5 + 5\sqrt{2} = 2$ $(-1 - \sqrt{2})x = 2 - 5 - 5\sqrt{2}$ $(-1 - \sqrt{2})x = -3 - 5\sqrt{2}$ $x = \frac{-3 - 5\sqrt{2}}{-1 - \sqrt{2}}$ Nhân cả tử và mẫu với $-1 + \sqrt{2}$, ta có: $x = \frac{(-3 - 5\sqrt{2})(-1 + \sqrt{2})}{(-1 - \sqrt{2})(-1 + \sqrt{2})}$ $x = \frac{3 - 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 10}{1 - 2}$ $x = \frac{-7 + 2\sqrt{2}}{-1}$ $x = 7 - 2\sqrt{2}$ Thay $x = 7 - 2\sqrt{2}$ vào $y = 5 - \sqrt{2}x$, ta có: $y = 5 - \sqrt{2}(7 - 2\sqrt{2})$ $y = 5 - 7\sqrt{2} + 4$ $y = 9 - 7\sqrt{2}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (7 - 2\sqrt{2}, 9 - 7\sqrt{2})$. b) $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2}x+y=2 & \\ x+(1-\sqrt{2})y=1 & \end{matrix}\right.$ Từ phương trình đầu tiên, ta có $y = 2 - \sqrt{2}x$. Thay vào phương trình thứ hai, ta có: $x + (1 - \sqrt{2})(2 - \sqrt{2}x) = 1$ $x + 2 - 2\sqrt{2} - \sqrt{2}x + 2x = 1$ $(1 - \sqrt{2} + 2)x + 2 - 2\sqrt{2} = 1$ $(3 - \sqrt{2})x = 1 - 2 + 2\sqrt{2}$ $(3 - \sqrt{2})x = -1 + 2\sqrt{2}$ $x = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}}$ Nhân cả tử và mẫu với $3 + \sqrt{2}$, ta có: $x = \frac{(-1 + 2\sqrt{2})(3 + \sqrt{2})}{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})}$ $x = \frac{-3 - \sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 4}{9 - 2}$ $x = \frac{1 + 5\sqrt{2}}{7}$ Thay $x = \frac{1 + 5\sqrt{2}}{7}$ vào $y = 2 - \sqrt{2}x$, ta có: $y = 2 - \sqrt{2} \cdot \frac{1 + 5\sqrt{2}}{7}$ $y = 2 - \frac{\sqrt{2} + 10}{7}$ $y = \frac{14 - \sqrt{2} - 10}{7}$ $y = \frac{4 - \sqrt{2}}{7}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (\frac{1 + 5\sqrt{2}}{7}, \frac{4 - \sqrt{2}}{7})$. c) $\left\{\begin{matrix} x+2y=-2 & \\ 5x-4y=11 & \end{matrix}\right.$ Từ phương trình đầu tiên, ta có $x = -2 - 2y$. Thay vào phương trình thứ hai, ta có: $5(-2 - 2y) - 4y = 11$ $-10 - 10y - 4y = 11$ $-14y = 21$ $y = -\frac{3}{2}$ Thay $y = -\frac{3}{2}$ vào $x = -2 - 2y$, ta có: $x = -2 - 2 \cdot (-\frac{3}{2})$ $x = -2 + 3$ $x = 1$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (1, -\frac{3}{2})$. d) $\left\{\begin{matrix} 2x-4~2x-y=1 & \\ 5x-4y=11 & \end{matrix}\right.$ Phương trình đầu tiên có lỗi, nên mình sẽ bỏ qua. e) $\left\{\begin{matrix} 5x-6y=4 & \\ 7x-4y=11 & \end{matrix}\right.$ Từ phương trình đầu tiên, ta có $5x = 4 + 6y$. Thay vào phương trình thứ hai, ta có: $7x - 4y = 11$ $7 \cdot \frac{4 + 6y}{5} - 4y = 11$ $\frac{28 + 42y}{5} - 4y = 11$ $28 + 42y - 20y = 55$ $22y = 27$ $y = \frac{27}{22}$ Thay $y = \frac{27}{22}$ vào $5x = 4 + 6y$, ta có: $5x = 4 + 6 \cdot \frac{27}{22}$ $5x = 4 + \frac{162}{22}$ $5x = \frac{88 + 162}{22}$ $5x = \frac{250}{22}$ $x = \frac{250}{110}$ $x = \frac{25}{11}$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (\frac{25}{11}, \frac{27}{22})$. Bài 2: a) Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac13\\y=4\end{array}\right.$ Thay $x=-\frac13$ vào phương trình $2x-y=\frac13$, ta có $2(-\frac13)-y=\frac13$ Hay $-\frac23-y=\frac13$ Do đó $y=-1$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x,y)=(-\frac13,-1)$ b) Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+\frac y2=4\\x-y=\frac13\end{array}\right.$ Từ phương trình $x-y=\frac13$, ta có $x=y+\frac13$ Thay $x=y+\frac13$ vào phương trình $x+\frac y2=4$, ta có $y+\frac13+\frac y2=4$ Hay $\frac56y+\frac13=4$ Do đó $\frac56y=\frac{11}{3}$ Vậy $y=\frac{22}{5}$ Thay $y=\frac{22}{5}$ vào phương trình $x=y+\frac13$, ta có $x=\frac{22}{5}+\frac13$ Hay $x=\frac{71}{15}$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x,y)=(\frac{71}{15},\frac{22}{5})$ c) Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac x3-\frac{2y}3=7\\\frac{4x}7+\frac y5=-1\end{array}\right.$ Nhân cả hai vế của phương trình $\frac x3-\frac{2y}3=7$ với 3, ta có $x-2y=21$ Nhân cả hai vế của phương trình $\frac{4x}7+\frac y5=-1$ với 35, ta có $20x+7y=-35$ Ta có hệ phương trình mới $\left\{\begin{array}{l}x-2y=21\\20x+7y=-35\end{array}\right.$ Từ phương trình $x-2y=21$, ta có $x=2y+21$ Thay $x=2y+21$ vào phương trình $20x+7y=-35$, ta có $20(2y+21)+7y=-35$ Hay $47y+420=-35$ Do đó $47y=-455$ Vậy $y=-\frac{455}{47}$ Thay $y=-\frac{455}{47}$ vào phương trình $x=2y+21$, ta có $x=2(-\frac{455}{47})+21$ Hay $x=\frac{139}{47}$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x,y)=(\frac{139}{47},-\frac{455}{47})$ d) Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-\frac y3=4\\x=\frac39=\frac{0,6}2\end{array}\right.$ Từ phương trình $x=\frac39=\frac{0,6}2$, ta có $x=\frac13$ Thay $x=\frac13$ vào phương trình $x-\frac y3=4$, ta có $\frac13-\frac y3=4$ Hay $-\frac y3=\frac{11}{3}$ Do đó $y=-11$ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x,y)=(\frac13,-11)$