a) Tìm chữ số tận cùng của 4^3^2 b) Tìm hai chữ số tận cùng của 3^999. c) Tìm ba chữ số tận cùng của số 2^512.

a) Để tìm chữ số tận cùng của $4^{3^2}$, ta tính trước giá trị của $3^2$ là 9. Sau đó, tính $4^9$ bằng cách nhân 4 với chính nó 8 lần: $4^9 = 262144$. Vậy chữ số tận cùng của $4^{3^2}$ là 4. b) Để tìm hai chữ số tận cùng của $3^{999}$, ta có thể sử dụng định lý Euler: $a^{\phi(100)} \equiv 1 \pmod{100}$ nếu $a$ và 100 là hai số nguyên tố cùng nhau. Ta biết rằng $\phi(100) = 40$, vì vậy $3^{40} \equiv 1 \pmod{100}$. Từ đó, ta có thể viết lại $3^{999}$ thành $(3^{40})^{24} \cdot 3^{39} \equiv 3^{39} \pmod{100}$. Bây giờ, ta chỉ cần tính $3^{39}$ để tìm hai chữ số tận cùng của $3^{999}$. Ta có thể tính toán bằng cách nhân 3 với chính nó 19 lần, sau đó nhân kết quả với 27: $3^{39} = 3^{20} \cdot 3^{19} = (3^{10})^2 \cdot 3^{19} \equiv 1^2 \cdot 3^{19} \equiv 27 \pmod{100}$. Vậy hai chữ số tận cùng của $3^{999}$ là 27. c) Để tìm ba chữ số tận cùng của $2^{512}$, ta có thể sử dụng định lý Euler tương tự như trong phần b. Ta biết rằng $\phi(1000) = 400$, vì vậy $2^{400} \equiv 1 \pmod{1000}$. Từ đó, ta có thể viết lại $2^{512}$ thành $(2^{400})^{1} \cdot 2^{112} \equiv 2^{112} \pmod{1000}$. Bây giờ, ta chỉ cần tính $2^{112}$ để tìm ba chữ số tận cùng của $2^{512}$. Ta có thể tính toán bằng cách nhân 2 với chính nó 56 lần, sau đó nhân kết quả với 4: $2^{112} = 2^{56} \cdot 2^{56} = (2^{10})^5 \cdot 2^{4} \equiv 24 \pmod{1000}$. Vậy ba chữ số tận cùng của $2^{512}$ là 024.