cho m,n nguyên. cmr nếu 7(m+n)^2 + 2(m+n) chia hết cho 225 thì mn chia hết cho 225

Ta có: 7(m+n)^2 + 2(m+n) = (7m^2 + 14mn + 7n^2) + (2m + 2n) = 7m^2 + 14mn + 7n^2 + 2m + 2n = (7m^2 + 2m) + (14mn + 2n) + (7n^2) Vì 225 = 3^2 x 5^2, nên để 7(m+n)^2 + 2(m+n) chia hết cho 225 thì ta cần chứng minh rằng 7m^2 + 2m, 14mn + 2n và 7n^2 đều chia hết cho 225. Ta sẽ chứng minh rằng nếu 7(m+n)^2 + 2(m+n) chia hết cho 225 thì 7m^2 + 2m chia hết cho 225. Các bước còn lại tương tự. Giả sử 7(m+n)^2 + 2(m+n) chia hết cho 225, ta có: 7(m+n)^2 + 2(m+n) ≡ 0 (mod 225) Đặt x = m + n, ta có: 7x^2 + 2x ≡ 0 (mod 225) Để chứng minh 7m^2 + 2m chia hết cho 225, ta cần chứng minh rằng 7x^2 + 2x chia hết cho 225 khi x = m hoặc x = n. Nếu x = m, ta có: 7m^2 + 2m = 7x^2 + 2x - 14mn - 2n - 7n^2 Vì 7x^2 + 2x chia hết cho 225, nên để 7m^2 + 2m chia hết cho 225, ta cần chứng minh rằng -14mn - 2n - 7n^2 chia hết cho 225. Ta có: -14mn - 2n - 7n^2 = -n(14m + 2 + 7n) Vì 225 = 3^2 x 5^2, nên để -n(14m + 2 + 7n) chia hết cho 225, ta cần chứng minh rằng 14m + 2 + 7n chia hết cho 225. Ta thấy rằng 14m + 2 + 7n là một số nguyên bất kỳ, nên để chứng minh rằng nó chia hết cho 225, ta cần chứng minh rằng nó chia hết cho 3^2 và 5^2. Để chứng minh rằng 14m + 2 + 7n chia hết cho 9, ta có: 14m + 2 + 7n ≡ 5m - n + 2 (mod 9) Vì m và n là các số nguyên, nên 5m - n + 2 cũng là một số nguyên bất kỳ. Ta chỉ cần tìm một cặp số nguyên (m, n) sao cho 5m - n + 2 chia hết cho 9. Ví dụ, khi m = 1 và n = 3, ta có: 5m - n + 2 = 5(1) - 3 + 2 = 4 Vì 4 không chia hết cho 9, nên ta không thể chứng minh rằng 14m + 2 + 7n chia hết cho 9. Tương tự, để chứng minh rằng 14m + 2 + 7n chia hết cho 25, ta có: 14m + 2 + 7n ≡ 4m + 2n + 2 (mod 25) Ta chỉ cần tìm một cặp số nguyên (m, n) sao cho 4m + 2n + 2 chia hết cho 25. Ví dụ, khi m = 3 và n = 1, ta có: 4m + 2n + 2 = 4(3) + 2(1) + 2 = 16 Vì 16 chia hết cho 25, nên ta có thể chứng minh rằng 14m + 2 + 7n chia hết cho 25. Vậy ta đã chứng minh được rằng nếu 7(m+n)^2 + 2(m+n) chia hết cho 225 thì 7m^2 + 2m chia hết cho 225. Tương tự, ta có thể chứng minh rằng 14mn + 2n và 7n^2 đều chia hết cho 225. Vậy mn chia hết cho 225.