Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH,chứng minh rằng: Clm AB.BH=BC^2, AC.BH=BC^2, AH^2=BH.CH

Để chứng minh các công thức trên, ta sử dụng định lý Pythagoras và định lý Euclid về đường cao trong tam giác vuông. 1. Chứng minh AB.BH = BC^2: - Vì tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagoras, ta có: AB^2 + BC^2 = AC^2. - Ta biết rằng đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông cân AHB và AHC. - Trong tam giác AHB, ta có: AB^2 = AH^2 + BH^2 (định lý Pythagoras). - Thay AB^2 bằng AH^2 + BH^2 vào công thức AB^2 + BC^2 = AC^2, ta được: AH^2 + BH^2 + BC^2 = AC^2. - Do đó, ta có: BC^2 = AC^2 - AH^2. - Nhân cả hai vế của phương trình trên với BH, ta được: BC^2 * BH = (AC^2 - AH^2) * BH. - Khi đó, ta có: AB.BH = BC^2 (đpcm). 2. Chứng minh AC.BH = BC^2: - Tương tự như trên, ta có: AC^2 = AH^2 + CH^2 (định lý Pythagoras). - Thay AC^2 bằng AH^2 + CH^2 vào công thức AB^2 + BC^2 = AC^2, ta được: AB^2 + BC^2 = AH^2 + CH^2. - Nhân cả hai vế của phương trình trên với BH, ta được: AB^2 * BH + BC^2 * BH = AH^2 * BH + CH^2 * BH. - Khi đó, ta có: AC.BH = BC^2 (đpcm). 3. Chứng minh AH^2 = BH.CH: - Trong tam giác AHC, ta có: AC^2 = AH^2 + CH^2 (định lý Pythagoras). - Thay AC^2 bằng AH^2 + CH^2 vào công thức AB^2 + BC^2 = AC^2, ta được: AB^2 + BC^2 = AH^2 + CH^2. - Nhân cả hai vế của phương trình trên với BH, ta được: AB^2 * BH + BC^2 * BH = AH^2 * BH + CH^2 * BH. - Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có: AB^2 = AH^2 + BH^2 (định lý Pythagoras). - Thay AB^2 bằng AH^2 + BH^2 vào công thức trên, ta được: (AH^2 + BH^2) * BH + BC^2 * BH = AH^2 * BH + CH^2 * BH. - Rút gọn phương trình trên, ta có: BH^3 + BC^2 * BH = AH^2 * BH + CH^2 * BH. - Do đó, ta có: AH^2 = BH.CH (đpcm). Vậy, ta đã chứng minh được các công thức trên.