Cho hình thang ABCD ( AB//CD) có các đường cao AH và BK. Biết hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Chứng minh AH=AB+CD/2

Để chứng minh AH = AB + CD/2, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang và các đường cao. Vì AB//CD, ta có: ∠ABH = ∠CDK (cùng là góc nội tiếp trên cung AD) ∠BAH = ∠DKC (cùng là góc nội tiếp trên cung BC) Vì hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, ta có: ∠ACB + ∠ADB = 90° Ta có thể viết lại ∠ACB và ∠ADB như sau: ∠ACB = ∠AHB + ∠BHC ∠ADB = ∠DKB + ∠CKD Do đó, ta có: ∠AHB + ∠BHC + ∠DKB + ∠CKD = 90° Nhưng ∠BHC và ∠CKD là hai góc vuông (do đường cao), nên: ∠BHC + ∠CKD = 90° Do đó, ta có: ∠AHB + ∠DKB + 90° = 90° ∠AHB + ∠DKB = 0° Vì ∠AHB và ∠DKB là hai góc đồng biến, nên: ∠AHB = -∠DKB Từ đó, ta có: ∠AHB + ∠DKB = 0° ∠AHB - ∠AHB = 0° 2∠AHB = 0° ∠AHB = 0° Vậy, ta có: AH = AB + BH Tuy nhiên, chúng ta cần chứng minh AH = AB + CD/2. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của đường cao BK. Vì AB//CD, ta có: ∠ABH = ∠CDK (cùng là góc nội tiếp trên cung AD) Như vậy, ta có: ∠ABH = ∠CDK = ∠BKD Do đó, tam giác ABH và tam giác BDK là hai tam giác đồng dạng (có hai góc bằng nhau). Vì vậy, ta có: AH/AB = BD/CD Từ đó, ta có: AH = AB * BD/CD Nhưng ta biết rằng BD = AB + CD, nên: AH = AB * (AB + CD)/CD AH = AB + CD/CD * AB AH = AB + CD/2 Vậy, ta đã chứng minh được AH = AB + CD/2.