chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) A = cos² a + cos²( 2π/3 + a ) + cos² ( 2π/3 -a )
b) B = cos( a- π/3 ). cos ( a + π/4) + cos( a+ π/6 ) . cos ( a+ 3π/4)

Question

muathuytinh · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
A=cos^{2} a+cos^{2}\left(\frac{2\pi }{3} +a ight) +cos\left(\frac{2\pi }{3} -a ight)\
=\frac{1+cos2a}{2} +\frac{1+cos\left( 2a+\frac{4\pi }{3} ight)}{2} +\frac{1+cos\left(\frac{4\pi }{3} -2a ight)}{22}\
=\frac{1}{2}\left( 1+1+1+cos2a+cos\left( 2a+\frac{4\pi }{3} ight) +cos\left(\frac{4\pi }{3} -2a ight) ight)\
=\frac{1}{2}\left( 3+cos2a+2cos\left(\frac{2a+\frac{4\pi }{3} +\frac{4\pi }{3} -2a}{2} ight) cos\left(\frac{2a+\frac{4\pi }{3} -\frac{4\pi }{3} +2a }{2} ight) ight)\
=\frac{1}{2}\left( 3+cos2a+2cos\frac{4\pi }{3} cos2a ight)\
=\frac{1}{2}( 3+cos2a-cos2a) =\frac{3}{2}
\end{array}$

Timi · Answer

a) Để chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào x, ta cần chứng minh rằng A không thay đổi khi giá trị của x thay đổi.

Biểu thức A = cos² a + cos²( 2π/3 + a ) + cos² ( 2π/3 -a )

Đặt x = 2π/3 + a, ta có:
cos²( 2π/3 + a ) = cos² x

Đặt y = 2π/3 - a, ta có:
cos² ( 2π/3 -a ) = cos² y

Thay x và y vào biểu thức A, ta được:
A = cos² a + cos² x + cos² y

Như vậy, biểu thức A không phụ thuộc vào x vì khi x thay đổi, giá trị của cos² x cũng thay đổi theo và ngược lại.

b) Để chứng minh biểu thức B không phụ thuộc vào x, ta cần chứng minh rằng B không thay đổi khi giá trị của x thay đổi.

Biểu thức B = cos( a- π/3 ). cos ( a + π/4) + cos( a+ π/6 ) . cos ( a+ 3π/4)

Đặt x = a - π/3, ta có:
cos( a- π/3 ) = cos x

Đặt y = a + π/4, ta có:
cos ( a + π/4) = cos y

Đặt z = a + π/6, ta có:
cos( a+ π/6 ) = cos z

Đặt t = a + 3π/4, ta có:
cos ( a+ 3π/4) = cos t

Thay x, y, z và t vào biểu thức B, ta được:
B = cos x . cos y + cos z . cos t

Như vậy, biểu thức B không phụ thuộc vào x vì khi x thay đổi, giá trị của cos x cũng thay đổi theo và ngược lại.

chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x a) A = cos² a + cos²( 2π/3 + a ) + cos² ( 2π/3 -a ) b) B = cos( a- π/3 ). cos ( a + π/4) + cos( a+ π/6 ) . cos ( a+ 3π/4)