Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh AB BC CD da lần lượt là a b c d Gọi M N P Q là trung điểm của các cạnh AB BC CD da Chứng minh rằng MP+NQ bé hơn hoặc bằng a+b+c+d/2

Để chứng minh rằng MP + NQ ≤ (a + b + c + d)/2, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác. Ta có: MP = 1/2 AB + 1/2 CD NQ = 1/2 BC + 1/2 DA Vậy MP + NQ = 1/2 AB + 1/2 CD + 1/2 BC + 1/2 DA Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: AB + BC ≥ AC BC + CD ≥ BD CD + DA ≥ AC DA + AB ≥ BD Cộng các bất đẳng thức trên lại, ta được: 2(AB + BC + CD + DA) ≥ 2(AC + BD) Vậy a + b + c + d ≥ AC + BD Chia cả hai vế của bất đẳng thức trên cho 2, ta có: (a + b + c + d)/2 ≥ (AC + BD)/2 Nhưng ta biết rằng AC + BD là độ dài đường chéo của tứ giác ABCD, và theo bất đẳng thức tam giác, đường chéo của một tứ giác luôn bé hơn hoặc bằng tổng độ dài hai cạnh bất kỳ. Vậy (AC + BD)/2 ≤ a + b + c + d/2 Từ đó suy ra: MP + NQ ≤ (a + b + c + d)/2 Vậy ta đã chứng minh được rằng MP + NQ bé hơn hoặc bằng (a + b + c + d)/2.