Cho hình vuông ABCD , lấy các điểm M N , lần lượt là trung điểm của AB CD , . Gọi E F , lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ B và D lên CM . K là giao điểm của DF với BC . 1) Chứng minh K là trun...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. 1) Chứng minh K là trung điểm của BC. - Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên CM là đường trung bình của hình thang ABND. Do đó, CM song song với AD và CM = AD/2. - Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ B và D lên CM, điều này có nghĩa là BE và DF đều vuông góc với CM. - Xét tam giác BCD, vì DF vuông góc với CM và K là giao điểm của DF với BC, nên K là trung điểm của BC do tính chất của đường trung bình trong tam giác. 2) Chứng minh AD = AF. - Vì DF vuông góc với CM và CM song song với AD, nên DF cũng vuông góc với AD. - Do đó, tam giác ADF là tam giác vuông tại F. - Vì K là trung điểm của BC, và DF là đường cao từ D, nên DF cũng là đường trung tuyến của tam giác vuông ADF. - Theo tính chất của tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, do đó AD = AF. 3) Chứng minh PQ đi qua trung điểm của AD. - Gọi P là giao điểm của AN và DK, Q là giao điểm của BF và DC. - Xét tam giác ABD và tam giác DBC, vì M và N là trung điểm của AB và CD, nên AN và DK là các đường trung tuyến. - Do đó, P là trung điểm của AN và Q là trung điểm của DC. - Vì PQ là đường nối các trung điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác ABD và DBC, nên PQ đi qua trung điểm của AD. 4) Giả sử hình vuông ABCD có cạnh bằng a, tính diện tích tam giác NEF theo a. - Vì M và N là trung điểm của AB và CD, nên AM = MB = CN = ND = a/2. - Do đó, CM = CN = a/2. - Vì E và F là chân các đường vuông góc từ B và D lên CM, nên BE = DF = a/2. - Tam giác NEF là tam giác vuông tại E, với NE = a/2 và EF = a/2. - Diện tích tam giác NEF = $\frac{1}{2} \times NE \times EF = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$. Vậy diện tích tam giác NEF theo a là $\frac{a^2}{8}$.