Cho tam giác nhọn ABC có AH là đường cao. Tia phân giác của góc B cắt AC tại M. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AH và cắt AB tại N. Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCMN là hình thang b) BN = MN

a) Ta có: Góc BAH = Góc CAH (vì AH là đường cao) Góc BAM = Góc MAC (do AM là tia phân giác của góc BAC) Vậy tam giác BAM và tam giác CAM đồng dạng (cùng có 1 góc bằng nhau). Do đó, ta có: BM/CM = AB/AC (điều này suy ra từ đồng dạng của tam giác BAM và tam giác CAM) b) Ta có: Góc MAN = Góc HAN (do MN vuông góc với AH) Góc MNA = Góc ANH (do MN vuông góc với AH) Vậy tam giác MAN và tam giác ANH đồng dạng (cùng có 2 góc bằng nhau). Do đó, ta có: MN/AN = MA/AH (điều này suy ra từ đồng dạng của tam giác MAN và tam giác ANH) Nhưng ta đã biết MA = MB (do M là điểm trên tia phân giác của góc BAC) Vậy MN/AN = MB/AH Từ đó, ta có: MN = (MB/AH) * AN Vì MB/AH = BC/AC (điều này suy ra từ đồng dạng của tam giác BAM và tam giác CAM) Vậy MN = (BC/AC) * AN Nhưng ta cũng biết BC/AC = BN/AN (điều này suy ra từ đồng dạng của tam giác BCM và tam giác CAN) Vậy MN = BN Vậy BN = MN