tìm x,y. biết 9x^2 + 3y^2 + 6xy - 6x + 2y - 35 = 0⊇

Question

tìm x,y.   biết 9x^2 + 3y^2 + 6xy - 6x + 2y - 35 = 0⊇

QuocKhanh · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
9x^{2} +3y^{2} +6xy-6x+2y-35=0\
\Leftrightarrow \left( 9x^{2} +6xy+y^{2} ight) -2.( 3x+y) +2.\left( y^{2} +2y+1 ight) -37=0\
\Leftrightarrow ( 3x+y)^{2} -2.( 3x+y) +2( y+1)^{2} -37=0\
\Leftrightarrow ( 3x+y)^{2} -2.( 3x+y) +1+2.( y+1)^{2} -38=0\
\Leftrightarrow ( 3x+y-1)^{2} =38-2.( y+1)^{2} =-2\left(( y+1)^{2} -19 ight)\
Vì\ ( 3x+y-1)^{2} \geqslant 0\Longrightarrow ( y+1)^{2} \leqslant 19\
vì\ ( y+1)^{2} \ là\ số\ chính\ phương\ với\ y\ nguyên\ nên\ -2\left(( y+1)^{2} -19 ight) \ là\ số\ chính\ phương\
\Leftrightarrow -2\left(( y+1)^{2} -19 ight) =36\
\Leftrightarrow \begin{cases}
( y=0 & \
y=-2 &
\end{cases}\
Với\ y=0,\ có\ \left[ \begin{array}{l l}
x=\frac{7}{3} & \
x=\frac{-5}{3} &
\end{array} ight.( loại\ vì\ x,y\ nguyên)\
Với\ y\ =-2\ có\ \left[ \begin{array}{l l}
x=3 & \
x=-1 &
\end{array} ight.( chọn)
\end{array}$

Timi · Answer

Để tìm x và y, ta cần giải phương trình 9x^2 + 3y^2 + 6xy - 6x + 2y - 35 = 0.

Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành hình vuông.

Đầu tiên, ta nhóm các thành phần chứa x lại và thành phần chứa y lại:
(9x^2 + 6xy - 6x) + (3y^2 + 2y) - 35 = 0.

Tiếp theo, ta hoàn thành hình vuông cho từng nhóm:
9(x^2 + 2xy - 2/3x) + 3(y^2 + 2/3y) - 35 = 0.

Sau đó, ta cộng thêm vào cả hai bên của phương trình một số hạng để làm cho mỗi nhóm trở thành một hình vuông hoàn chỉnh:
9(x^2 + 2xy - 2/3x + (xy/3)^2 - (xy/3)^2) + 3(y^2 + 2/3y + (y/3)^2 - (y/3)^2) - 35 = 0.

Khi đó, phương trình trở thành:
9(x + xy/3)^2 + 3(y + y/3)^2 - 35 - (xy/3)^2 - (y/3)^2 = 0.

Tiếp theo, ta đơn giản hóa phương trình:
9(x + xy/3)^2 + 3(y + y/3)^2 - 35 - x^2y^2/9 - y^2/9 = 0.

Cuối cùng, ta có thể viết phương trình dưới dạng:
9(x + xy/3)^2 + 3(y + y/3)^2 - (xy^2 + y^2)/9 - 35 = 0.

Từ đây, ta có thể nhận thấy rằng phương trình đã được biến đổi thành một phương trình của hình elip.

Vậy, để tìm x và y, ta cần giải hệ phương trình sau đây:
x + xy/3 = 0,
y + y/3 = 0,
xy^2 + y^2 = 0,
xy^2 + y^2 = 315.

Từ phương trình đầu tiên, ta có x = 0 hoặc y = -3.
- Nếu x = 0, từ phương trình thứ hai, ta có y = 0.
- Nếu y = -3, từ phương trình thứ hai, ta có y = 0.

Vậy, ta có hai nghiệm là (x, y) = (0, 0) và (x, y) = (0, -3).