Cho phương trình x^2 + 2x + k = 0. Tìm giá trị của k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau:

a) x1 - x2 = 14

b) x1 = 2x2

c) x1^2 + x2^2 = 1

d) 1/x1 + 1/x2 = 2

Question

Cho phương trình x^2 + 2x + k = 0. Tìm giá trị của k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau:

a) x1 - x2 = 14

b) x1 = 2x2

c) x1^2 + x2^2 = 1

d) 1/x1 + 1/x2 = 2

Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x^{2} +2x+k=0\
riangle =2^{2} -4k=4-4k
\end{array}$
Phương trình có 2 nghiệm $\displaystyle \Leftrightarrow riangle \geqslant 0\Leftrightarrow 4-4k\geqslant 0\Leftrightarrow k\leqslant 1$
Theo Viét: $\displaystyle \begin{cases}
x_{1} +x_{2} =-2 & \
x_{1} .x_{2} =k &
\end{cases}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
a) \ x_{1} -x_{2} =14\
\Longrightarrow \ \begin{cases}
x_{1} +x_{2} =-2 & \
x_{1} -x_{2} =14 &
\end{cases}\
\Leftrightarrow \begin{cases}
x_{1} +x_{1} -14=-2 & \
x_{2} =x_{1} -14 &
\end{cases}\
\Leftrightarrow \begin{cases}
x_{1} =6 & \
x_{2} =-8 &
\end{cases}\
k=x_{1} .x_{2} =6.( -8) =-48( t/m\ k\leqslant 1)\
b) \ x_{1} =2x_{2}\
\Longrightarrow \ \begin{cases}
x_{1} +x_{2} =-2 & \
x_{1} =2x_{2} &
\end{cases}\
\Leftrightarrow \begin{cases}
2x_{2} +x_{2} =-2 & \
x_{1} =2x_{2} &
\end{cases}\
\Leftrightarrow \begin{cases}
x_{2} =\frac{-2}{3} & \
x_{1} =\frac{-4}{3} &
\end{cases}\
k=x_{1} .x_{2} =\frac{8}{9}( t/m\ k\leqslant 1)\
c) \ x_{1}^{2} +x_{2}^{2} =1\
\Longrightarrow \ x_{1}^{2} +2x_{1} x_{2} +x_{2}^{2} =1+2x_{1} x_{2}\
\Longrightarrow \ ( x_{1} +x_{2})^{2} =1+2x_{1} x_{2}\
\Longrightarrow \ ( -2)^{2} =1+2k\
\Longrightarrow \ k=\frac{3}{2} >1
\end{array}$
⟹ Không có giá trị nào của k thoả mãn