Tìm tất cả các số nguyên tố p thỏa mãn $$ là số chính phương

Để tìm các số nguyên tố p thỏa mãn $$ là số chính phương, ta cần giải phương trình sau: $$ Trong đó, n là một số nguyên. Ta có thể nhận thấy rằng p phải là số lẻ, vì nếu p là số chẵn thì p^2 cũng là số chẵn và 5.3^p cũng là số chẵn, do đó tổng của chúng sẽ là số chẵn, không thể là số chính phương. Giả sử p = 2k + 1, với k là một số nguyên không âm. Thay p vào phương trình ban đầu, ta có: $$ Mở ngoặc và rút gọn, ta được: $$ Điều này cho thấy rằng n^2 phải là số lẻ, vì 4k^2 + 4k + 1 là số lẻ và 15.9^k là số chẵn. Vì vậy, ta có thể giả sử n = 2m + 1, với m là một số nguyên không âm. Thay n vào phương trình, ta có: $$ Mở ngoặc và rút gọn, ta được: $$ Loại bỏ các số 1 và rút gọn, ta có: $$ Chia cả hai vế của phương trình cho 4, ta được: $$ Điều này cho thấy rằng m^2 + m phải là số nguyên, do đó k^2 + k + (15/4).9^k cũng phải là số nguyên. Ta nhận thấy rằng k^2 + k là số nguyên, do đó (15/4).9^k cũng phải là số nguyên. Vì 15/4 không phải là một số nguyên, nên 9^k phải chia hết cho 4. Từ đó, ta suy ra k chia hết cho 2. Vậy, p = 2k + 1 chia hết cho 2, tức là p là số chẵn. Do đó, không có số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện ban đầu. Vậy, không có số nguyên tố p thỏa mãn $$ là số chính phương.