Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 6x² - xy - 2y² + 4x + 2y - 7 = 0

Ta có: 6x² - xy - 2y² + 4x + 2y - 7 = 0 6x² + 4x - 7 = xy + 2y² - 2y 6x² + 4x - 7 = y(x + 2y) - 2y 6x² + 4x - 7 = y(x + 2y - 2) Vì x, y là các số nguyên nên x + 2y - 2 là ước của 6x² + 4x - 7. 6x² + 4x - 7 = 6(x² + $\frac{2}{3}$x) - 7 = 6(x² + $\frac{2}{3}$x + $\frac{1}{9}$) - 6.$\frac{1}{9}$ - 7 = 6(x + $\frac{1}{3}$)² - $\frac{23}{3}$ Vậy 6x² + 4x - 7 chia hết cho 3. Mặt khác, x + 2y - 2 cũng chia hết cho 3. Do đó, ta có: 6x² + 4x - 7 = 3k(x + 2y - 2) với k là số nguyên. Thay vào phương trình ban đầu, ta được: 3k(x + 2y - 2) = y(x + 2y - 2) 3k = y Vậy y = 3k. 6x² + 4x - 7 = 3k(x + 6k - 2) 6x² + 4x - 7 = 3kx + 18k² - 6k 6x² + 4x - 7 - 3kx - 18k² + 6k = 0 6x² + (4 - 3k)x - 18k² + 6k - 7 = 0 Phương trình này có nghiệm nguyên khi và chỉ khi biệt số của nó là một số chính phương. Biệt số của phương trình là: (4 - 3k)² - 4.6.(-18k² + 6k - 7) = 16 - 24k + 9k² + 432k² - 144k + 168 = 441k² - 168k + 184 Để biệt số là một số chính phương, ta có: 441k² - 168k + 184 = m² với m là số nguyên. 441k² - 168k + 184 - m² = 0 (-168)² - 4.441.(184 - m²) = 28224 - 1764(184 - m²) = 28224 - 324336 + 1764m² = 1764m² - 296112 1764m² - 296112 = n² với n là số nguyên. 1764m² - n² = 296112 (m$\sqrt{1764}$ - n)(m$\sqrt{1764}$ + n) = 296112 Vì m và n là các số nguyên nên m$\sqrt{1764}$ - n và m$\sqrt{1764}$ + n là các số nguyên. m$\sqrt{1764}$ - n = p m$\sqrt{1764}$ + n = q với p và q là các số nguyên. Cộng hai phương trình trên, ta được: 2m$\sqrt{1764}$ = p + q m$\sqrt{1764}$ = $\frac{p + q}{2}$ Thay vào phương trình đầu tiên, ta được: $\frac{p + q}{2}$\sqrt{1764}$ - n = p $\frac{p + q}{2}$\sqrt{1764}$ - p = n Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.