Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn xy(x - y) + 1 chia hết cho 3. Chứng minh x + y chia hết cho 3.

Ta có: - Nếu x chia hết cho 3 hoặc y chia hết cho 3 thì x + y chia hết cho 3. - Nếu x và y đều không chia hết cho 3 thì x = 3k ± 1, y = 3m ± 1 (với k, m là các số nguyên). Do đó, ta có: x - y = 3(k - m) hoặc x - y = 3(k - m) ± 2. Từ đây suy ra: xy(x - y) + 1 = 3[...] hoặc xy(x - y) + 1 = 3(...) ± 2. Như vậy, để xy(x - y) + 1 chia hết cho 3 thì x - y = 3(k - m) ± 2 không xảy ra. Suy ra x - y = 3(k - m) hay x và y cùng tính chất chia hết cho 3. Vậy x + y chia hết cho 3.