Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyên với nửa đường tròn, cắt Ax và By lần...

Để chứng minh \( AP + BQ = PQ \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xét tam giác và góc liên quan: - Gọi \( O \) là tâm của nửa đường tròn, \( AB \) là đường kính. - \( M \) là một điểm trên nửa đường tròn, khác \( A \) và \( B \). - Vẽ tiếp tuyến từ \( M \) cắt các tiếp tuyến \( Ax \) và \( By \) tại \( P \) và \( Q \) tương ứng. 2. Tính chất của tiếp tuyến: - Vì \( AP \) và \( BQ \) là các tiếp tuyến từ \( A \) và \( B \) đến nửa đường tròn, nên \( \angle AMP = \angle AMO = 90^\circ \) và \( \angle BMQ = \angle BMO = 90^\circ \). 3. Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp: - Tứ giác \( AMBP \) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \( AB \), do đó \( \angle AMP + \angle ABP = 180^\circ \). - Tương tự, tứ giác \( BMQP \) cũng là tứ giác nội tiếp, do đó \( \angle BMQ + \angle BPQ = 180^\circ \). 4. Chứng minh \( AP + BQ = PQ \): - Xét tam giác \( APQ \) và \( BQP \), ta có: - \( \angle APQ = \angle BQP = 90^\circ \) (do \( AP \) và \( BQ \) là tiếp tuyến). - Do đó, \( \angle APQ + \angle BQP = 180^\circ \). - Từ các tính chất trên, ta có: - \( AP + BQ = PQ \). Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AP + BQ = PQ \).