Tồn tại hay không sô nguyên dương n để 2n-1, 5n-1, 13n-1 đồng thời là số chính phương

Để giải bài toán này, ta cần tìm số nguyên dương n sao cho 2n-1, 5n-1 và 13n-1 đều là số chính phương. Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện trên. Ta có: 2n - 1 = x^2 (1) 5n - 1 = y^2 (2) 13n - 1 = z^2 (3) Trong đó, x, y, z lần lượt là các số nguyên dương. Từ (1), ta có: 2n = x^2 + 1 Do đó, x^2 + 1 chia hết cho 2. Nhưng x^2 + 1 không chia hết cho 4 vì nếu chia hết cho 4 thì x^2 chia hết cho 4, từ đó suy ra x chia hết cho 2. Nhưng khi đó, x^2 chia hết cho 4, từ đó suy ra x^2 + 1 không chia hết cho 4. Vậy x^2 + 1 chỉ chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4. Từ (2), ta có: 5n = y^2 + 1 Do đó, y^2 + 1 chia hết cho 5. Nhưng y^2 + 1 không chia hết cho 25 vì nếu chia hết cho 25 thì y^2 chia hết cho 25, từ đó suy ra y chia hết cho 5. Nhưng khi đó, y^2 chia hết cho 25, từ đó suy ra y^2 + 1 không chia hết cho 25. Vậy y^2 + 1 chỉ chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25. Từ (3), ta có: 13n = z^2 + 1 Do đó, z^2 + 1 chia hết cho 13. Nhưng z^2 + 1 không chia hết cho 169 vì nếu chia hết cho 169 thì z^2 chia hết cho 169, từ đó suy ra z chia hết cho 13. Nhưng khi đó, z^2 chia hết cho 169, từ đó suy ra z^2 + 1 không chia hết cho 169. Vậy z^2 + 1 chỉ chia hết cho 13 nhưng không chia hết cho 169. Từ các phân tích trên, ta thấy x^2 + 1, y^2 + 1 và z^2 + 1 đều là số chính phương nhưng không chia hết cho bất kỳ số chính phương nào lớn hơn 1. Điều này không thể xảy ra vì mỗi số chính phương đều có ít nhất một ước số chính phương khác 1. Vậy không tồn tại số nguyên dương n để 2n-1, 5n-1 và 13n-1 đồng thời là số chính phương.