Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x^2y^2-xy=x^2+2y^2

Question

babieboo · Accepted Answer

Ta có:
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x^{2} y^{2} -xy=x^{2} +2y^{2}\
\Leftrightarrow y^{2}\left( x^{2} -2ight) -xy-x^{2} =0
\end{array}$
Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn y
Để phương trình có nghiệm nguyên thì:
$\displaystyle \Delta =x^{2} +4x^{2}\left( x^{2} -2ight)$ là số chính phương
$\displaystyle \Leftrightarrow 4x^{4} -7x^{2} =x^{2}\left( 4x^{2} -7ight)$ là số chính phương
$\displaystyle \Leftrightarrow 4x^{2} -7$ là số chính phương
Đặt $\displaystyle 4x^{2} -7=t^{2} \Leftrightarrow 7=( 2x)^{2} =t^{2}$ (t là số tự nhiên)
$\displaystyle \Leftrightarrow 7=( 2x-t)( 2x+t)$
Vì $\displaystyle 2x-t< 2x+t$ nên ta xét các trường hợp sau:
TH1:
 $\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\begin{cases}
2x-t=1 & \
2x+t=7 & 
\end{cases}\
\Rightarrow 4x=8\Rightarrow x=2
\end{array}$
Thay vào phương trình ban đầu thu được $\displaystyle y=2;\ y=-1$
TH2:
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\begin{cases}
2x-t=-1 & \
2x+t=-7 & 
\end{cases}\
\Rightarrow 4x=-8\
\Rightarrow x=-2
\end{array}$
Thay vào phương trình ban đầu thu được $\displaystyle y=1;\ y=-2$
Vậy ta có (x;y)=(2;2); (2;-1); (-2;1); (-2;-2)

Timi · Answer

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình, ta có thể giải theo từng biến.

Đầu tiên, giải theo biến x:
x^2y^2 - xy = x^2 + 2y^2
x(xy^2 - y) = x^2 + 2y^2

Nếu x = 0, ta có:
0 = 2y^2
=> y = 0

Nếu x khác 0, ta có:
xy^2 - y = x + 2y^2
xy^2 - y - x - 2y^2 = 0
y^2(x - 2) - (x + 1)y = 0

Đây là một phương trình bậc hai theo biến y. Để giải phương trình này, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

y = [-(x + 1) ± √((x + 1)^2 + 4(x - 2)y^2)] / (2(x - 2))

Để phương trình có nghiệm nguyên, ta cần √((x + 1)^2 + 4(x - 2)y^2) là một số nguyên và (x + 1)^2 + 4(x - 2)y^2 chia hết cho (x - 2).

Từ đó, ta có thể tìm các giá trị nguyên của x và y thỏa mãn phương trình ban đầu.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2y^2-xy=x^2+2y^2