Chứng minh bất đẳng thức trong hình là đúng :

I) Chứng minh bất đẳng thức $\textstyle a^4+b^4\geq a^3b+ab^3$: Ta có thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng: $\textstyle a^4-a^3b+ab^3-b^4\geq 0$ Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho $\textstyle ab$ (với $\textstyle a$ và $\textstyle b$ khác 0), ta được: $\textstyle \frac{a^4}{ab}-\frac{a^3b}{ab}+\frac{ab^3}{ab}-\frac{b^4}{ab}\geq 0$ Simplifying, we have: $\textstyle a^3-b^3+b^3-a^3\geq 0$ Đúng vì $\textstyle a^3-b^3$ và $\textstyle b^3-a^3$ có cùng dấu. Vậy bất đẳng thức $\textstyle a^4+b^4\geq a^3b+ab^3$ là đúng. II) Chứng minh bất đẳng thức $\textstyle \frac{A^3+B^3}{2}\geq \frac{(A+B)^3}{2}(A,B\geq0)$: Ta có thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng: $\textstyle A^3+B^3\geq (A+B)^3$ Mở ngoặc bên phải, ta được: $\textstyle A^3+B^3\geq A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$ Simplifying, we have: $\textstyle 0\geq 3A^2B+3AB^2$ Đúng vì $\textstyle A^2B$ và $\textstyle AB^2$ không âm. Vậy bất đẳng thức $\textstyle \frac{A^3+B^3}{2}\geq \frac{(A+B)^3}{2}(A,B\geq0)$ là đúng.