Giúp mình với!

3) $(\frac{x^3-y^3}{x-y}+xy):(x+y)^2$ Ta có: \[ \frac{x^3-y^3}{x-y} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y} = x^2 + xy + y^2 \] Do đó: \[ (\frac{x^3-y^3}{x-y}+xy) = x^2 + xy + y^2 + xy = x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 \] Vậy: \[ (x+y)^2 : (x+y)^2 = 1 \] 4) $(\frac{1}{x^2-x}+\frac{1}{x-1}):\frac{x+1}{x^2-2x+1}$ Ta có: \[ \frac{1}{x^2-x} = \frac{1}{x(x-1)} \] \[ \frac{1}{x-1} \] Do đó: \[ \frac{1}{x(x-1)} + \frac{1}{x-1} = \frac{1 + x}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x(x-1)} \] Vậy: \[ \frac{x+1}{x(x-1)} : \frac{x+1}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x(x-1)} \times \frac{(x-1)^2}{x+1} = \frac{x-1}{x} \] 5) $(a-\frac{1}{a}):(\frac{a-1}{a}+\frac{1-a}{a^2+a})$ Ta có: \[ a - \frac{1}{a} = \frac{a^2 - 1}{a} \] \[ \frac{a-1}{a} + \frac{1-a}{a^2+a} = \frac{a-1}{a} + \frac{-(a-1)}{a(a+1)} = \frac{(a-1)(a+1) - (a-1)}{a(a+1)} = \frac{(a-1)a}{a(a+1)} = \frac{a-1}{a+1} \] Vậy: \[ \frac{a^2 - 1}{a} : \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a-1)(a+1)}{a} \times \frac{a+1}{a-1} = a+1 \] 6) $(\frac{x-2}{x^2-1}-\frac{x-2}{x^2-2x+1}).\frac{(1-x^2)^2}{2x-4}$ Ta có: \[ \frac{x-2}{x^2-1} = \frac{x-2}{(x-1)(x+1)} \] \[ \frac{x-2}{x^2-2x+1} = \frac{x-2}{(x-1)^2} \] Do đó: \[ \frac{x-2}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-2}{(x-1)^2} = \frac{(x-2)(x-1) - (x-2)(x+1)}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{(x-2)(x-1-x-1)}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{-2(x-2)}{(x-1)^2(x+1)} \] Vậy: \[ \frac{-2(x-2)}{(x-1)^2(x+1)} \times \frac{(1-x^2)^2}{2(x-2)} = \frac{-2(x-2)(1-x^2)^2}{(x-1)^2(x+1) \cdot 2(x-2)} = \frac{(1-x^2)^2}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{(x^2-1)^2}{(x-1)^2(x+1)} = x^2-1 \] 7) $(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}):(\frac{x+1}{x-2}-\frac{x+2}{x-1})$ Ta có: \[ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x-1)}{x(x-1)} = \frac{1}{x(x-1)} \] \[ \frac{x+1}{x-2} - \frac{x+2}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1) - (x+2)(x-2)}{(x-2)(x-1)} = \frac{x^2-1 - (x^2-4)}{(x-2)(x-1)} = \frac{3}{(x-2)(x-1)} \] Vậy: \[ \frac{1}{x(x-1)} : \frac{3}{(x-2)(x-1)} = \frac{1}{x(x-1)} \times \frac{(x-2)(x-1)}{3} = \frac{x-2}{3x} \] 8) $(1+\frac{x}{x^2+1}):(\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{x^3+x-x^2-1})$ Ta có: \[ 1 + \frac{x}{x^2+1} = \frac{x^2+1+x}{x^2+1} = \frac{x^2+x+1}{x^2+1} \] \[ \frac{1}{x-1} - \frac{2x}{x^3+x-x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{2x}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{x^2+1 - 2x}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{x^2-2x+1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{x-1}{x^2+1} \] Vậy: \[ \frac{x^2+x+1}{x^2+1} : \frac{x-1}{x^2+1} = \frac{x^2+x+1}{x^2+1} \times \frac{x^2+1}{x-1} = \frac{x^2+x+1}{x-1} \] Bài 19. 1. Tìm các giá trị của x để phân thức xác định Để biểu thức \(A\) xác định, các mẫu thức của các phân thức trong biểu thức phải khác 0. \(x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\) \(x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\) \(4 - x^2 \neq 0 \Rightarrow (2 - x)(2 + x) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\) và \(x \neq -2\) Vậy biểu thức \(A\) xác định khi \(x \neq 2\) và \(x \neq -2\). 2. Rút gọn \(A\) Ta có: \[A = \frac{x+1}{x-2} + \frac{2x}{x+2} + \frac{2+5x}{4-x^2}\] Nhận thấy \(4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)\), ta có thể viết lại biểu thức \(A\) dưới dạng có cùng mẫu: \[A = \frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{2x(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{2+5x}{(2-x)(2+x)}\] \[A = \frac{(x+1)(x+2) + 2x(x-2) + (2+5x)}{(x-2)(x+2)}\] Rút gọn tử số: \[(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2\] \[2x(x-2) = 2x^2 - 4x\] Tử số tổng cộng: \[x^2 + 3x + 2 + 2x^2 - 4x + 2 + 5x = 3x^2 + 4x + 4\] Vậy biểu thức rút gọn của \(A\) là: \[A = \frac{3x^2 + 4x + 4}{(x-2)(x+2)}\] 3. Tìm \(x\) để \(A = 2\) Ta có: \[\frac{3x^2 + 4x + 4}{(x-2)(x+2)} = 2\] Nhân cả hai vế với \((x-2)(x+2)\): \[3x^2 + 4x + 4 = 2(x-2)(x+2)\] \[3x^2 + 4x + 4 = 2(x^2 - 4)\] \[3x^2 + 4x + 4 = 2x^2 - 8\] Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[3x^2 + 4x + 4 - 2x^2 + 8 = 0\] \[x^2 + 4x + 12 = 0\] Phương trình này không có nghiệm thực vì \(x^2 + 4x + 12\) luôn dương (vì \(x^2 + 4x + 4 + 8 = (x+2)^2 + 8 > 0\)). Vậy không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn \(A = 2\). Đáp số: Không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn \(A = 2\). Bài 20. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn biểu thức \( B \). 2. Tìm giá trị của \( x \) sao cho \( B = 0 \). Bước 1: Rút gọn biểu thức \( B \) Biểu thức ban đầu: \[ B = \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} \right) : \left( \frac{x+2}{x-1} - \frac{x+1}{x-2} \right) \] Rút gọn phần tử trong ngoặc đơn đầu tiên: \[ \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1) - x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x(x-1)} \] Rút gọn phần tử trong ngoặc đơn thứ hai: \[ \frac{x+2}{x-1} - \frac{x+1}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2) - (x+1)(x-1)}{(x-1)(x-2)} \] \[ = \frac{(x^2 - 4) - (x^2 - 1)}{(x-1)(x-2)} \] \[ = \frac{x^2 - 4 - x^2 + 1}{(x-1)(x-2)} \] \[ = \frac{-3}{(x-1)(x-2)} \] Kết hợp lại: \[ B = \left( \frac{-1}{x(x-1)} \right) : \left( \frac{-3}{(x-1)(x-2)} \right) \] \[ = \frac{-1}{x(x-1)} \times \frac{(x-1)(x-2)}{-3} \] \[ = \frac{(x-2)}{3x} \] Bước 2: Tìm giá trị của \( x \) sao cho \( B = 0 \) \[ B = \frac{x-2}{3x} \] Để \( B = 0 \), ta cần: \[ \frac{x-2}{3x} = 0 \] Từ đây, ta có: \[ x - 2 = 0 \] \[ x = 2 \] Tuy nhiên, theo điều kiện ban đầu \( x \neq 2 \), nên không có giá trị nào của \( x \) thỏa mãn điều kiện này. Kết luận: 1. Biểu thức \( B \) đã được rút gọn thành \( \frac{x-2}{3x} \). 2. Không có giá trị nào của \( x \) để \( B = 0 \) do \( x \neq 2 \). Bài 21. Để giải quyết các yêu cầu của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần 1: Rút gọn biểu thức \( C \) Biểu thức \( C \) được cho là: \[ C = \frac{15x - 11}{x^2 + 2x - 3} + \frac{3x - 2}{1 - x} - \frac{2x + 3}{3 + x} \] Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - \( x^2 + 2x - 3 \neq 0 \) - \( 1 - x \neq 0 \) - \( 3 + x \neq 0 \) Tìm nghiệm của \( x^2 + 2x - 3 = 0 \): \[ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) = 0 \] \[ x = -3 \text{ hoặc } x = 1 \] Do đó, ĐKXĐ là: \[ x \neq -3, x \neq 1 \] Bước 2: Rút gọn từng phân thức - \( \frac{15x - 11}{(x + 3)(x - 1)} \) - \( \frac{3x - 2}{-(x - 1)} = -\frac{3x - 2}{x - 1} \) - \( \frac{2x + 3}{x + 3} \) Bước 3: Quy đồng mẫu số Mẫu số chung là \( (x + 3)(x - 1) \). \[ C = \frac{15x - 11}{(x + 3)(x - 1)} - \frac{(3x - 2)(x + 3)}{(x + 3)(x - 1)} + \frac{(2x + 3)(x - 1)}{(x + 3)(x - 1)} \] Bước 4: Cộng các phân thức \[ C = \frac{15x - 11 - (3x^2 + 9x - 2x - 6) + (2x^2 - 2x + 3x - 3)}{(x + 3)(x - 1)} \] \[ C = \frac{15x - 11 - 3x^2 - 7x + 6 + 2x^2 + x - 3}{(x + 3)(x - 1)} \] \[ C = \frac{-x^2 + 9x - 8}{(x + 3)(x - 1)} \] Phần 2: Tìm giá trị của \( x \) để \( C = 0,5 \) \[ \frac{-x^2 + 9x - 8}{(x + 3)(x - 1)} = 0,5 \] Nhân cả hai vế với \( (x + 3)(x - 1) \): \[ -x^2 + 9x - 8 = 0,5(x + 3)(x - 1) \] \[ -x^2 + 9x - 8 = 0,5(x^2 + 2x - 3) \] \[ -x^2 + 9x - 8 = 0,5x^2 + x - 1,5 \] Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ -x^2 + 9x - 8 - 0,5x^2 - x + 1,5 = 0 \] \[ -1,5x^2 + 8x - 6,5 = 0 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ số thập phân: \[ -3x^2 + 16x - 13 = 0 \] Phương trình này có thể giải bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương. Phần 3: Tìm giá trị của \( x \) để \( C \) nhận giá trị lớn nhất Để tìm giá trị lớn nhất của \( C \), ta cần phân tích biểu thức \( C \) và tìm giá trị của \( x \) sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Điều này thường liên quan đến việc tìm cực đại của biểu thức. Tuy nhiên, do yêu cầu của đề bài và kiến thức lớp 8, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị \( x \) trong khoảng cho phép để tìm giá trị lớn nhất của \( C \). Kết luận 1. Biểu thức rút gọn của \( C \) là: \[ C = \frac{-x^2 + 9x - 8}{(x + 3)(x - 1)} \] 2. Để \( C = 0,5 \), ta cần giải phương trình: \[ -3x^2 + 16x - 13 = 0 \] 3. Để tìm giá trị lớn nhất của \( C \), ta cần thử nghiệm các giá trị \( x \) trong khoảng cho phép và kiểm tra giá trị của \( C \).