cho a ,b ,c biết ab+ac+bc = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của M = a+b+c

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( M = a + b + c \) khi \( ab + ac + bc = 3 \), ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức và bất đẳng thức. Bước 1: Xét biểu thức \( M^2 \): \[ M^2 = (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \] Bước 2: Thay \( ab + ac + bc = 3 \) vào biểu thức trên: \[ M^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 3 = a^2 + b^2 + c^2 + 6 \] Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac + bc \] Do \( ab + ac + bc = 3 \), ta có: \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq 3 \] Bước 4: Thay vào biểu thức \( M^2 \): \[ M^2 \geq 3 + 6 = 9 \] Bước 5: Lấy căn bậc hai cả hai vế: \[ M \geq 3 \] Bước 6: Kiểm tra điều kiện để \( M = 3 \): - Ta thấy \( M = 3 \) khi \( a = b = c \). - Thay vào \( ab + ac + bc = 3 \): \[ a^2 + a^2 + a^2 = 3 \] \[ 3a^2 = 3 \] \[ a^2 = 1 \] \[ a = 1 \text{ (vì } a > 0) \] Vậy \( a = b = c = 1 \) thỏa mãn điều kiện ban đầu. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( M = a + b + c \) là 3, đạt được khi \( a = b = c = 1 \).