cho a,b,c không thỏa mãn ab+ac+bc=3 Tính giá trị nhỏ nhất của M = a+b+c (giải theo cách lớp 8)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( M = a + b + c \) khi \( ab + ac + bc = 3 \), ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức và bất đẳng thức. Bước 1: Xét biểu thức \( M^2 \): \[ M^2 = (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \] Bước 2: Thay \( ab + ac + bc = 3 \) vào biểu thức trên: \[ M^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \cdot 3 = a^2 + b^2 + c^2 + 6 \] Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số \( a, b, c \): \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a + b + c)^2}{3} \] \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{M^2}{3} \] Bước 4: Thay vào biểu thức \( M^2 \): \[ M^2 \geq \frac{M^2}{3} + 6 \] Bước 5: Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số: \[ 3M^2 \geq M^2 + 18 \] Bước 6: Chuyển \( M^2 \) sang vế trái: \[ 2M^2 \geq 18 \] Bước 7: Chia cả hai vế cho 2: \[ M^2 \geq 9 \] Bước 8: Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ |M| \geq 3 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( M \) là \( -3 \) và giá trị lớn nhất của \( M \) là \( 3 \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( M = a + b + c \) là \( -3 \), đạt được khi \( a = b = c = -1 \). Đáp số: \( M_{min} = -3 \)