Cho ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng: a. ΔABC = ΔMDE b. Ba đường thẳng AM, BD, CE...

a, Ta có: xy$\displaystyle \parallel $BC, MD$\displaystyle \parallel $AB
$\displaystyle \Rightarrow $AD$\displaystyle \parallel $BM, AB$\displaystyle \parallel $DM
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{BMA} =\widehat{MAD} ,\ \widehat{BAM} =\widehat{AMD}$
Mà $\displaystyle \vartriangle $ABM và $\displaystyle \vartriangle $MDA chung cạnh AM
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle $ABM = $\displaystyle \vartriangle $MDA (g.c.g)
$\displaystyle \Rightarrow $AD = BM, MD = AB
Tương tự chứng minh được AE = MC, ME = AC
$\displaystyle \Rightarrow $DE = DA + AE = BM + MC = BC
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle $ABC = $\displaystyle \vartriangle $MDE (c.c.c)
b, Gọi AM $\displaystyle \cap $BD = I
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{IAD} =\widehat{IMB} ,\ \widehat{IDA} =\widehat{IBM} \ ( AD\parallel BM)$
Mà AD = BM
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle $IAD = $\displaystyle \vartriangle $IMB (g.c.g)
$\displaystyle \Rightarrow $IA = IM, IB = ID
Lại có AE$\displaystyle \parallel $CM$\displaystyle \Rightarrow \widehat{EAI} =\widehat{IMC}$
Kết hợp AE = CM
$\displaystyle \Rightarrow \vartriangle $IAE = $\displaystyle \vartriangle $IMC (c.g.c)
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \widehat{AIE} =\widehat{MIC}\\
\Rightarrow \widehat{EIC} =\widehat{AIE} +\widehat{AIC} =\widehat{MIC} +\widehat{AIC} =\widehat{AIM} =180^{o}
\end{array}$
$\displaystyle \Rightarrow $E, I, C thẳng hàng
$\displaystyle \Rightarrow $CE, AM, BD đồng quy