Giải hệ phương trình:

Để giải hệ phương trình này, ta sẽ sử dụng phương pháp khử Gauss. Bước 1: Nhân cả hai phương trình với $y$ để loại bỏ mẫu số trong phương trình thứ nhất: $\left\{\begin{array}{l}y^2(xy-2)=3x^2y\\y^3+x^2y^2+2xy=0\end{array}\right.$ Bước 2: Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai: $(y^2(xy-2)) - (y^3+x^2y^2+2xy) = (3x^2y) - 0$ Simplifying the left side of the equation, we get: $-y^3 + xy^2 - 2y^2 - x^2y^2 - 2xy = 3x^2y$ Bước 3: Đưa các thành phần có cùng mũ của $y$ về cùng một bên và rút gọn: $-y^3 - x^2y^2 + xy^2 - 2y^2 - 2xy - 3x^2y = 0$ Bước 4: Nhân cả biểu thức trên với $-1$ để đổi dấu: $y^3 + x^2y^2 - xy^2 + 2y^2 + 2xy + 3x^2y = 0$ Bước 5: Sắp xếp lại các thành phần theo thứ tự giảm dần của mũ của $y$: $y^3 + x^2y^2 + 2y^2 - xy^2 + 3x^2y + 2xy = 0$ Bước 6: Nhân cả biểu thức trên với $\frac{1}{x}$ để đổi vị trí của các thành phần: $\frac{y^3}{x} + xy + 2\frac{y^2}{x} - y + 3xy + 2y = 0$ Bước 7: Rút gọn biểu thức trên: $\frac{y^3}{x} + 4xy + 2\frac{y^2}{x} - y = 0$ Bước 8: Nhân cả biểu thức trên với $x$ để loại bỏ mẫu số: $y^3 + 4x^2y + 2y^2 - xy = 0$ Bước 9: Sử dụng phương trình thứ nhất trong hệ phương trình ban đầu để thay thế $xy$: $y^3 + 4x^2y + 2y^2 - \frac{3x^2}{y} = 0$ Bước 10: Đưa các thành phần có cùng mũ của $y$ về cùng một bên và rút gọn: $y^3 + 2y^2 + 4x^2y - \frac{3x^2}{y} = 0$ Bước 11: Nhân cả biểu thức trên với $y$ để đổi vị trí của các thành phần: $y^4 + 2y^3 + 4x^2y^2 - 3x^2 = 0$ Bước 12: Sử dụng phương trình thứ hai trong hệ phương trình ban đầu để thay thế $x^2y^2$: $y^4 + 2y^3 + 4(-2x) - 3x^2 = 0$ Bước 13: Rút gọn biểu thức trên: $y^4 + 2y^3 - 8x - 3x^2 = 0$ Bước 14: Đưa các thành phần có cùng mũ của $y$ về cùng một bên và rút gọn: $y^4 + 2y^3 - 3x^2 - 8x = 0$ Bước 15: Sử dụng phương trình bậc 4 để giải phương trình trên. Tuy nhiên, việc giải phương trình bậc 4 là khá phức tạp và không thể giải bằng cách thông thường. Do đó, ta không thể tìm được giá trị chính xác của $y$ và $x$ từ hệ phương trình này. Vậy, hệ phương trình không có nghiệm.