Tìm x,y biết $b)x^2+y^2+17=2x-8y$,$e)9x^2+4y^2+26+4y=30x$ f),$h)16x^2+25y^2+13=20y+24x$

Question

Yoyooo · Accepted Answer

b) $\displaystyle x^{2} +y^{2} +17=2x-8y$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} +17-2x+8y=0\
\Leftrightarrow \left( x^{2} -2x+1 ight) +\left( y^{2} +8y+16 ight) =0\
\Leftrightarrow ( x-1)^{2} +( y+4)^{2} =0
\end{array}$
Mà $\displaystyle ( x-1)^{2} \geqslant 0;\ $ $\displaystyle ( y+4)^{2} \geqslant 0$ nên để phương trình có nghiệm thì:
$\displaystyle \begin{cases}
( x-1)^{2} & =0\
( y+4)^{2} & =0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x-1 & =0\
y+4 & =0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x & =1\
y & =-4
\end{cases}$
Vậy $\displaystyle ( x;\ y) \ =( 1;\ -4)$
e) $\displaystyle 9x^{2} +4y^{2} +26+4y=30x$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Leftrightarrow 9x^{2} +4y^{2} +26+4y-30x=0\
\Leftrightarrow \left( 9x^{2} -30x+25 ight) +\left( 4y^{2} +4y+1 ight) =0\
\Leftrightarrow ( 3x-5)^{2} +( 2y+1)^{2} =0
\end{array}$
Mà $\displaystyle ( 3x-5)^{2} \geqslant 0;\ $ $\displaystyle ( 2y+1)^{2} \geqslant 0$ nên để phương trình có nghiệm thì:
$\displaystyle \begin{cases}
( 3x-5)^{2} & =0\
( 2y+1)^{2} & =0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
3x-5 & =0\
2y+1 & =0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x & =\frac{5}{3}\
y & =-\frac{1}{2}
\end{cases}$
Vậy $\displaystyle ( x;\ y) \ =\left(\frac{5}{3} ;\ -\frac{1}{2} ight)$
h) $\displaystyle 16x^{2} +25y^{2} +13=20y+24x$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Leftrightarrow 16x^{2} +25y^{2} +13-20y-24x=0\
\Leftrightarrow \left( 16x^{2} -24x+9 ight) +\left( 25y^{2} -20y+4 ight) =0\
\Leftrightarrow ( 4x-3)^{2} +( 5y-2)^{2} =0
\end{array}$
Mà $\displaystyle ( 4x-3)^{2} \geqslant 0;\ $ $\displaystyle ( 5y-2)^{2} \geqslant 0$ nên để phương trình có nghiệm thì:
$\displaystyle \begin{cases}
( 4x-3)^{2} & =0\
( 5y-2)^{2} & =0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
4x-3 & =0\
5y-2 & =0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x & =\frac{3}{4}\
y & =\frac{2}{5}
\end{cases}$
Vậy $\displaystyle ( x;\ y) \ =\left(\frac{3}{4} ;\ \frac{2}{5} ight)$

Timi · Answer

b) Để giải phương trình $x^2+y^2+17=2x-8y$, ta sẽ hoàn thành phương trình bậc hai.

Đầu tiên, ta sắp xếp lại phương trình như sau: $x^2 - 2x + y^2 + 8y = -17$

Tiếp theo, ta thêm vào mỗi phần của phương trình một số hạng sao cho nó trở thành một phương trình hoàn hảo.

Đối với phần $x^2 - 2x$, ta thêm vào $(\frac{-2}{2})^2 = 1$.

Đối với phần $y^2 + 8y$, ta thêm vào $(\frac{8}{2})^2 = 16$.

Phương trình sau khi hoàn thành trở thành: $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 0$

Vì tổng hai bình phương không thể âm, nên $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 0$ chỉ khi và chỉ khi cả hai số hạng đều bằng 0.

Vậy, ta có $x - 1 = 0$ và $y + 4 = 0$, từ đó suy ra $x = 1$ và $y = -4$.

e) Tương tự, để giải phương trình $9x^2+4y^2+26+4y=30x$, ta sẽ hoàn thành phương trình bậc hai.

Đầu tiên, ta sắp xếp lại phương trình như sau: $9x^2 - 30x + 4y^2 + 4y = -26$

Tiếp theo, ta thêm vào mỗi phần của phương trình một số hạng sao cho nó trở thành một phương trình hoàn hảo.

Đối với phần $9x^2 - 30x$, ta thêm vào $(\frac{-30}{2*3})^2 = 25$.

Đối với phần $4y^2 + 4y$, ta thêm vào $(\frac{4}{2*2})^2 = 1$.

Phương trình sau khi hoàn thành trở thành: $(3x - 5)^2 + (2y + 1)^2 = 0$

Vì tổng hai bình phương không thể âm, nên $(3x - 5)^2 + (2y + 1)^2 = 0$ chỉ khi và chỉ khi cả hai số hạng đều bằng 0.

Vậy, ta có $3x - 5 = 0$ và $2y + 1 = 0$, từ đó suy ra $x = \frac{5}{3}$ và $y = -\frac{1}{2}$.

h) Tương tự, để giải phương trình $16x^2+25y^2+13=20y+24x$, ta sẽ hoàn thành phương trình bậc hai.

Đầu tiên, ta sắp xếp lại phương trình như sau: $16x^2 - 24x + 25y^2 - 20y = -13$

Tiếp theo, ta thêm vào mỗi phần của phương trình một số hạng sao cho nó trở thành một phương trình hoàn hảo.

Đối với phần $16x^2 - 24x$, ta thêm vào $(\frac{-24}{2*4})^2 = 9$.

Đối với phần $25y^2 - 20y$, ta thêm vào $(\frac{-20}{2*5})^2 = 4$.

Phương trình sau khi hoàn thành trở thành: $(4x - 3)^2 + (5y - 2)^2 = 0$

Vì tổng hai bình phương không thể âm, nên $(4x - 3)^2 + (5y - 2)^2 = 0$ chỉ khi và chỉ khi cả hai số hạng đều bằng 0.

Vậy, ta có $4x - 3 = 0$ và $5y - 2 = 0$, từ đó suy ra $x = \frac{3}{4}$ và $y = \frac{2}{5}$.

hatgiongtamhon · Answer

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
b,x^{2} +y^{2} +17=2x-8y\
\Leftrightarrow x^{2} -2x+1+y^{2} +8y+16=0\
\Leftrightarrow ( x-1)^{2} +( y-4)^{2} =0\
( x-1)^{2} \geqslant 0\forall x\
( y-4)^{2} \geqslant 0\forall y\
\Rightarrow ( x-1)^{2} +( y-4)^{2} =0\Leftrightarrow \begin{cases}
x=1 & \
y=4 & 
\end{cases}\
e,9x^{2} +4y^{2} +26+4y=30x\
\Leftrightarrow 9x^{2} +30x+25+4y^{2} +4y+1=0\
\Leftrightarrow ( 3x+5)^{2} +( 2y+1)^{2} =0\
( 3x+5)^{2} \geqslant 0\forall x\
( 2y+1)^{2} \geqslant 0\forall y\
\Rightarrow ( 3x+5)^{2} +( 2y+1)^{2} =0\Leftrightarrow \begin{cases}
x=\frac{-5}{3} & \
y=\frac{-1}{2} & 
\end{cases}
\end{array}$