Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P∈ AB), vẽ MQ vuôn...

c,
2 tam giác AEO và PMB đồng dạng vì chúng là 2 tam giác vuông có 1 góc bằng nhau là $\displaystyle \widehat{AOE} =\widehat{ABM}$ vì $\displaystyle OE\parallel BM$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{AO}{BP} =\frac{AE}{MP}$ (4)
Mặt khác, vì $\displaystyle KP\parallel AE$ nên ta có tỉ số $\displaystyle \frac{KP}{AE} =\frac{BP}{AB}$ (5)
Từ (4) và (5) $\displaystyle \Rightarrow AO.MP=AE.BP=KP.AB$
mà $\displaystyle AB=2.OA\Rightarrow MP=2.KP$
Vậy K là trung điểm MP
d,
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với 4 số không âm a,b,c,d ta có:
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{a+b+c+d}{4} \geqslant \sqrt[4]{abcd}\\
\Leftrightarrow abcd\leqslant \left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^{4} \ ( *)
\end{array}$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d
$\displaystyle MP=\sqrt{MO^{2} -OP^{2}} =\sqrt{R^{2} -( x-R)^{2}} =\sqrt{2Rx-x^{2}}$
Ta có:
$\displaystyle S=S_{APMQ} =MP.AP=x\sqrt{2Rx-x^{2}} =\sqrt{( 2R-x) x^{3}}$
S đặt max $\displaystyle \Leftrightarrow ( 2R-x) x^{3}$ đạt max $\displaystyle \Leftrightarrow x.x.x.( 2R-x)$ đạt max
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{x}{3} .\frac{x}{3} .\frac{x}{3}( 2R-x)$ đạt max
Áp dụng (*) với $\displaystyle a=b=c=\frac{x}{3}$ ta có:
$\displaystyle \frac{x}{3} .\frac{x}{3} .\frac{x}{3}( 2R-x) \leqslant \frac{1}{4^{4}}\left(\frac{x}{3} .\frac{x}{3} .\frac{x}{3}( 2R-x)\right)^{4} =\frac{R^{4}}{16}$
Do đó S max $\displaystyle \Leftrightarrow \frac{x}{3} =( 2R-x) \Leftrightarrow x=\frac{3}{2} R$
Vậy khi $\displaystyle MP=\frac{R\sqrt{3}}{2}$ thì hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất