* Dao động điều hòa:
- Chứng minh các hệ thức sau đây:
1. omega^2.(X2^2-X1^2)=V1^2-V2^2
2. Cho 2 vật vuông pha, CM:
(V1/Vmax)^2+(V2/Vmax)^2=1

Question

khoihoang · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
1.\ Ta\ có\
\frac{v^{2}}{\omega ^{2}} +x^{2} =A^{2}\
\Longrightarrow x_{1}^{2} +\frac{v_{1}^{2}}{\omega ^{2}} =x_{2}^{2} +\frac{v_{2}^{2}}{\omega ^{2}}\
\Longrightarrow \left( x_{2}^{2} -x_{1}^{2} ight) =\frac{v_{1}^{2}}{\omega ^{2}} -\frac{v_{2}^{2}}{\omega ^{2}}\
\Longrightarrow \omega ^{2}\left( x_{2}^{2} -x_{1}^{2} ight) =v_{1}^{2} -v_{2\ }^{2}( dpcm)
\end{array}$

Timi · Answer

1. Chúng ta biết rằng vận tốc v của một vật dao động điều hòa có thể được tính bằng công thức sau: v = ω√(A^2 - x^2), trong đó:
- ω là tốc độ góc
- A là biên độ
- x là độ lệch pha

Từ công thức trên, ta có thể suy ra: v^2 = ω^2(A^2 - x^2)

Do đó, ta có thể viết lại hệ thức 1 như sau: ω^2(A^2 - x1^2) = v1^2 và ω^2(A^2 - x2^2) = v2^2

Trừ hai phương trình này cho nhau, ta được: ω^2(x2^2 - x1^2) = v1^2 - v2^2

2. Đối với hai vật dao động điều hòa cùng pha, chúng ta có thể viết vận tốc của chúng như sau: V1 = Vmax.sin(ωt) và V2 = Vmax.cos(ωt)

Bình phương hai phương trình trên, ta được: (V1/Vmax)^2 = sin^2(ωt) và (V2/Vmax)^2 = cos^2(ωt)

Cộng hai phương trình này lại, ta được: (V1/Vmax)^2 + (V2/Vmax)^2 = sin^2(ωt) + cos^2(ωt) = 1

Vậy, hai hệ thức đã được chứng minh.

NT · Answer

Để chứng minh các hệ thức trên, ta sử dụng công thức của dao động điều hòa:

omega^2.(X2^2 - X1^2) = V1^2 - V2^2

Trong đó:

omega là tần số góc của dao động (omega = 2pif, với f là tần số)
X1 và X2 là biên độ của vật tại hai thời điểm khác nhau
V1 và V2 là vận tốc của vật tại hai thời điểm khác nhau

Bước 1: Ta biểu diễn vận tốc V1 và V2 dựa trên biên độ X1 và X2:

V1 = omegaX1

V2 = omegaX2

Bước 2: Thay vào công thức ban đầu:

omega^2.(X2^2 - X1^2) = (omegaX1)^2 - (omegaX2)^2

Bước 3: Rút gọn và chuyển vế:

omega^2.X2^2 - omega^2.X1^2 = omega^2X1^2 - omega^2X2^2

Bước 4: Điều chỉnh phương trình:

omega^2.X2^2 + omega^2X2^2 = omega^2X1^2 + omega^2*X1^2

Bước 5: Kết hợp các thành phần tương tự:

2omega^2X2^2 = 2omega^2X1^2

Bước 6: Loại bỏ các thành phần chung:

X2^2 = X1^2

Bước 7: Lấy căn bậc hai cả hai vế:

X2 = X1

Vậy, ta đã chứng minh được hệ thức omega^2.(X2^2 - X1^2) = V1^2 - V2^2.

(V1/Vmax)^2 + (V2/Vmax)^2 = 1

Để chứng minh hệ thức này, ta sử dụng công thức biểu diễn vận tốc của dao động điều hòa:

V = Vmaxsin(omegat)

Trong đó:

V là vận tốc của vật tại thời điểm t
Vmax là vận tốc cực đại của vật
omega là tần số góc của dao động

Bước 1: Ta biểu diễn V1 và V2 dựa trên Vmax:

V1 = Vmaxsin(omegat1)

V2 = Vmaxsin(omegat2)

Bước 2: Thay vào công thức ban đầu:

(V1/Vmax)^2 + (V2/Vmax)^2 = (sin(omegat1))^2 + (sin(omegat2))^2

Bước 3: Sử dụng công thức sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

(V1/Vmax)^2 + (V2/Vmax)^2 = 1sin^2(omegat1) + 1sin^2(omegat2)

Bước 4: Rút gọn:

(V1/Vmax)^2 + (V2/Vmax)^2 = sin^2(omegat1) + sin^2(omegat2)

Bước 5: Sử dụng công thức sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

(V1/Vmax)^2 + (V2/Vmax)^2 = 1 - cos^2(omegat1) + 1 - cos^2(omegat2)

Bước 6: Kết hợp các thành phần tương tự:

(V1/Vmax)^2 + (V2/Vmax)^2 = 2 - (cos^2(omegat1) + cos^2(omegat2))

Bước 7: Sử dụng công thức cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

(V1/Vmax)^2 + (V2/Vmax)^2 =2-1

Bước 8: Rút gọn:

(V1/Vmax)^2 + (V2/Vmax)^2 = 1

Vậy, ta đã chứng minh được hệ thức (V1/Vmax)^2 + (V2/Vmax)^2 = 1.

Đây là các hệ thức chứng minh trong dao động điều hòa.

Neko_pyn · Answer

Để chứng minh hệ thức omega^2.(X2^2-X1^2) = V1^2 - V2^2, ta sử dụng định nghĩa của vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa.

Vận tốc của vật tại thời điểm t bất kỳ là: V = -omega*X

Gia tốc của vật tại thời điểm t bất kỳ là: a = -omega^2*X

Giả sử tại thời điểm t1 và t2, vật có vị trí lần lượt là X1 và X2, và vận tốc lần lượt là V1 và V2.

Từ đó, ta có:

V1 = -omegaX1

V2 = -omegaX2

Thay vào hệ thức trên, ta có:

omega^2*(X2^2 - X1^2) = (-omegaX2)^2 - (-omegaX1)^2

= V2^2 - V1^2

Vậy, hệ thức omega^2.(X2^2-X1^2) = V1^2 - V2^2 đã được chứng minh.

Cho 2 vật vuông pha, ta có:
V1 = Vmaxsin(omegat)
V2 = Vmaxsin(omegat + phi)

Thay vào hệ thức trên, ta có:

(V1/Vmax)^2 + (V2/Vmax)^2 = (sin(omegat)/1)^2 + (sin(omegat + phi)/1)^2

= sin^2(omegat) + sin^2(omegat + phi)

= (1 - cos^2(omegat)) + (1 - cos^2(omegat + phi))

= 2 - (cos^2(omegat) + cos^2(omegat + phi))

Sử dụng công thức cos^2(x) = 1/2*(1 + cos(2x)), ta có:

(cos^2(omegat) + cos^2(omegat + phi)) = 1/2*(1 + cos(2omegat)) + 1/2*(1 + cos(2omegat + 2phi))

= 1 + 1/2(cos(2omegat) + cos(2omegat + 2*phi))

Vì cos(x) + cos(y) = 2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2), nên:

(cos(2omegat) + cos(2omegat + 2phi)) = 2cos((2omegat + 2omegat + 2phi)/2)cos((2omegat + 2omegat - 2phi)/2)

= 2cos((4omegat + 2phi)/2)cos((2phi)/2)

= 2cos(2omegat + phi)*cos(phi)

Thay vào hệ thức trước đó, ta có:

(V1/Vmax)^2 + (V2/Vmax)^2 = 2 - (cos^2(omegat) + cos^2(omegat + phi))

= 2 - (1 + 1/2*(cos(2omegat) + cos(2omegat + 2phi)))

= 1 - 1/2(cos(2omegat) + cos(2omegat + 2phi))

= 1 - cos(2omega*t + phi)*cos(phi)

Vì cos^2(x) = 1 - sin^2(x), nên:

1 - cos(2omegat + phi)cos(phi) = 1 - (1 - sin^2(2omegat + phi))cos(phi)

= sin^2(2omegat + phi)*cos(phi)

Vì sin^2(x) + cos^2(x) = 1, nên:

sin^2(2omegat + phi)cos(phi) = (1 - cos^2(2omegat + phi))cos(phi)

= cos^2(phi) - cos^2(2omegat + phi)*cos(phi)

Vì cos^2(x) = 1/2*(1 + cos(2x)), nên:

cos^2(phi) - cos^

✞ঔৣ۝ᵐᵃⁱ❤ᶜᵘ̉ᵃ❤ᵃⁱ︵²ᵏ⁷ · Answer

Để chứng minh hệ thức omega^2.(X2^2-X1^2) = V1^2 - V2^2, ta sử dụng phương trình dao động điều hòa của vật điều hòa:

x(t) = Acos(omegat + phi)

Trong đó:

x(t) là vị trí của vật tại thời điểm t
A là biên độ của dao động
omega là tần số góc của dao động
phi là pha ban đầu của dao động

Đạo hàm của x(t) theo thời gian t:

v(t) = dx(t)/dt = -Aomegasin(omega*t + phi)

Đạo hàm thứ hai của x(t) theo thời gian t:

a(t) = d^2x(t)/dt^2 = -Aomega^2cos(omega*t + phi)

Ở vị trí x1 và x2, vận tốc của vật lần lượt là v1 và v2. Từ đó, ta có:

v1 = -Aomegasin(omegat1 + phi)

v2 = -Aomegasin(omegat2 + phi)

Vậy, v1^2 - v2^2 = (-Aomegasin(omegat1 + phi))^2 - (-Aomegasin(omegat2 + phi))^2

= A^2omega^2(sin^2(omegat1 + phi) - sin^2(omegat2 + phi))

= A^2omega^2(cos^2(omegat2 + phi) - cos^2(omegat1 + phi))

= A^2omega^2((1 - sin^2(omegat2 + phi)) - (1 - sin^2(omegat1 + phi)))

= A^2omega^2(sin^2(omegat1 + phi) - sin^2(omegat2 + phi))

= A^2omega^2(X1^2 - X2^2)

Vậy, omega^2*(X2^2 - X1^2) = V1^2 - V2^2.

Để chứng minh hệ thức (V1/Vmax)^2 + (V2/Vmax)^2 = 1, ta sử dụng biểu diễn pha của vận tốc trong dao động điều hòa:

v(t) = Vmaxcos(omegat + phi)

Với Vmax là giá trị cực đại của vận tốc và phi là pha ban đầu.

Tại thời điểm t1 và t2, vận tốc của vật lần lượt là v1 và v2. Ta có:

v1 = Vmaxcos(omegat1 + phi)

v2 = Vmaxcos(omegat2 + phi)

Vậy, (v1/Vmax)^2 + (v2/Vmax)^2 = (cos(omegat1 + phi))^2 + (cos(omegat2 + phi))^2

= cos^2(omegat1 + phi) + cos^2(omegat2 + phi)

= 1 - sin^2(omegat1 + phi) + 1 - sin^2(omegat2 + phi)

= 2 - (sin^2(omegat1 + phi) + sin^2(omegat2 + phi))

= 2 - (sin^2(omegat1 + phi) + sin^2(omegat2 + phi) + 2sin(omegat1 + phi)sin(omegat2 + phi) - 2sin(omegat1 + phi)sin(omegat2 + phi))

= 2 - 2sin(omegat1 + phi)sin(omegat2 + phi)(1 - cos(omegat1 + phi)cos(omegat2 + phi))

= 2 - 2sin(omegat1 + phi)sin(omegat2 + phi)cos(omegat1 + phi)cos(omegat2 + phi)

= 2 - 2sin(omegat1 + phi)sin(omegat2 + phi)cos(omega(t1 + t2 + phi))

Vì sin(omega*(t1 + t2 + phi)) = sin(omega*(

* Dao động điều hòa: - Chứng minh các hệ thức sau đây: 1. omega^2.(X2^2-X1^2)=V1^2-V2^2 2. Cho 2 vật vuông pha, CM: (V1/Vmax)^2+(V2/Vmax)^2=1