cho tam giác abc vuông tại a có B=60 độ, đường cao AH. Điểm M nằm giữa H và C sao cho A và M chia đôi chu vi tam giác ABC (tức là AB+BM=AC+CM).Chứng minh rằng HM=AH

Question

spyxfamily · Accepted Answer

Đặt AB=a Xét $\displaystyle \vartriangle $ABC vuông tại A

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} an\hat{B} =\frac{AC}{AB}\ \Rightarrow \frac{AC}{AB} = an 60^{o} =\sqrt{3}\ \Rightarrow AC=a\sqrt{3}\ \sin\hat{B} =\frac{AC}{BC}\ \Rightarrow BC=\frac{AC}{\sin 60^{o}} =\frac{a\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =2a \end{array}$

Lại có: $\displaystyle \frac{1}{AH^{2}} =\frac{1}{AB^{2}} +\frac{1}{AC^{2}}$(hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \Rightarrow \frac{1}{AH^{2}} =\frac{1}{a^{2}} +\frac{1}{\left( a\sqrt{3} ight)^{2}} =\frac{4}{3a^{2}}\ \Rightarrow AH=\frac{\sqrt{3}}{2} a \end{array}$

Ta có: $\displaystyle AB^{2} =BH.BC$ (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) $\displaystyle \Rightarrow BH=\frac{AB^{2}}{BC} =\frac{a^{2}}{2a} =\frac{a}{2}$ Theo bài cho ta có: AB+BM=AC+CM $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \Rightarrow AB+2BM=AC+BC\ \Leftrightarrow BM=\frac{AC+BC-AB}{2} =\frac{a\sqrt{3} +2a-a}{2}\ \Leftrightarrow BH+HM=\frac{a\sqrt{3} +a}{2}\ \Leftrightarrow HM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\ \Rightarrow HM=AH\ ( đpcm) \end{array}$

Timi · Answer

Đầu tiên, ta có tam giác ABC vuông tại A, với B = 60 độ nên AC = 2AB (do AC là cạnh huyền của tam giác vuông góc B và góc B = 60 độ).

Giả sử AH = x, do đó HC = AC - AH = 2AB - x.

Vì A và M chia đôi chu vi tam giác ABC nên AB + BM = AC + CM. Thay các giá trị đã biết vào, ta có:

AB + BM = 2AB + CM
=> BM - CM = AB
=> BM = AB + CM

Vì M nằm giữa H và C nên BM = BH + HC = x + (2AB - x) = 2AB.

Vậy, ta có BM = 2AB = AC.

Do đó, tam giác BMC là tam giác cân tại B, suy ra MB = MC.

Vì vậy, HM = BM - BH = MC - CH = AH.

Vậy, HM = AH.