M là trung điểm cạnh BC của tam giác nhọn không cân ABC. Các đường thẳng qua M vuông góc với AB và AC cắt AC và AB tại P và Q. Đường tròn (MPQ) cắt BC lần thư lần thứ hai tại N. Gọi H là điểm đối xứng...

Để chứng minh AH ⊥ BC, ta cần chứng minh tam giác AHM vuông tại H.

Ta có:

• M là trung điểm của BC, nên MB = MC.
• Đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt AB tại P, nên MP ⊥ AB.
• Đường thẳng qua M vuông góc với AC cắt AC tại Q, nên MQ ⊥ AC.

Vì MP ⊥ AB và MQ ⊥ AC, nên tam giác MPQ vuông tại M.

Do đó, ta có tam giác MPQ vuông tại M và MB = MC, nên ta có thể kết luận rằng đường tròn (MPQ) là đường tròn đường kính MC.

Vì N là điểm cắt thứ hai của đường tròn (MPQ) và BC, nên ta có MN ⊥ BC.

Vì H là điểm đối xứng của N qua M, nên ta có MH = MN.

Từ đó, ta có tam giác MHM vuông tại H với MH = MN, nên ta có thể kết luận rằng AH ⊥ BC.

Vậy, ta đã chứng minh được AH ⊥ BC.