Không thực hiện tính tổng, chứng minh rằng A=2+ 2²+2³+....+2^40 chia hết cho 3

Để chứng minh A=2+ 2²+2³+....+2^40 chia hết cho 3, ta không cần phải thực hiện tính tổng. Thay vào đó, ta có thể sử dụng quy tắc số dư. Ta có thể thấy rằng 2^n (với n là số nguyên không âm) khi chia cho 3 sẽ luôn cho số dư là 2, 1 hoặc 0 theo chu kỳ 2, 1, 0, 2, 1, 0,... Cụ thể, ta có: - 2^0 % 3 = 1 - 2^1 % 3 = 2 - 2^2 % 3 = 1 - 2^3 % 3 = 2 - 2^4 % 3 = 1 - ... Như vậy, ta có thể thấy rằng mỗi ba số liên tiếp trong dãy số 2^n (n từ 0 đến 40), tổng của chúng sẽ chia hết cho 3. Vì dãy số này có 41 số (từ 2^0 đến 2^40), và 41 chia 3 dư 2, nên ta chỉ cần xem xét hai số cuối cùng (2^39 và 2^40). Ta có: - 2^39 % 3 = 2 - 2^40 % 3 = 1 Vậy, tổng của hai số này cũng chia hết cho 3. Vì vậy, ta có thể kết luận rằng tổng A=2+ 2²+2³+....+2^40 chia hết cho 3.