Nêu cách chứng minh đẳng thức và giá trị biểu thức có điều kiện bằng cách sử dụng phép biến đổi tương đương và cho các ví dụ

Để chứng minh một đẳng thức hoặc giá trị biểu thức có điều kiện bằng cách sử dụng phép biến đổi tương đương, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu và điều kiện cần chứng minh.

Bước 2: Áp dụng các phép biến đổi tương đương để chuyển từ điều kiện ban đầu sang điều kiện cần chứng minh. Các phép biến đổi tương đương có thể là phép rút gọn, phép nhân chia, phép đổi vị trí, phép thay thế, phép đổi dấu, phép chuyển vế, v.v.

Bước 3: Chứng minh rằng khi áp dụng các phép biến đổi tương đương, ta thu được kết quả tương đương với điều kiện cần chứng minh.

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Giả sử điều kiện ban đầu là a và b là hai số thực bất kỳ.

Bước 2: Áp dụng phép nhân đôi:

(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)

Bước 3: Chứng minh rằng a(a + b) + b(a + b) = a^2 + 2ab + b^2

Áp dụng phép nhân:

a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2

Simplifying:

a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

Do đó, ta đã chứng minh được đẳng thức (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Ví dụ 2: Chứng minh giá trị biểu thức có điều kiện: Nếu a + b = 0, thì a^2 + b^2 = 2ab.

Giả sử điều kiện ban đầu là a và b là hai số thực bất kỳ sao cho a + b = 0.

Bước 2: Áp dụng phép chuyển vế:

a + b = 0

=> a = -b

Bước 3: Chứng minh rằng a^2 + b^2 = 2ab

Thay a = -b vào biểu thức:

a^2 + b^2 = (-b)^2 + b^2 = b^2 + b^2 = 2b^2

Và 2ab = 2(-b)b = -2b^2

Ta thấy a^2 + b^2 = 2ab

Do đó, ta đã chứng minh được giá trị biểu thức có điều kiện: Nếu a + b = 0, thì a^2 + b^2 = 2ab.

Lưu ý rằng các phép biến đổi tương đương phải được áp dụng một cách hợp lý và không làm thay đổi ý nghĩa ban đầu của đẳng thức hoặc giá trị biểu thức.