😄😄😄😄😄😄😄😄😄

Để giải phương trình \(x^2 + mx + 4 = 0\), ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Trong đó, \(a = 1\), \(b = m\), \(c = 4\). a/ Để phương trình có nghiệm, ta cần điều kiện \(\Delta = b^2 - 4ac \geq 0\). Thay các giá trị vào, ta có: \[\Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = m^2 - 16\] Điều kiện \(\Delta \geq 0\) tương đương với \(m^2 - 16 \geq 0\). Giải bất phương trình này, ta có: \[m^2 \geq 16\] \[|m| \geq 4\] Vậy điều kiện để phương trình có nghiệm là \(|m| \geq 4\). b/ Đề bài yêu cầu tìm \(m\) sao cho phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(\frac{1}{x_1^4} + \frac{1}{x_2^4} = \frac{257}{256}\). Ta biết rằng nếu \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai thì ta có: \[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\] \[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\] Từ phương trình đã cho, ta có \(x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{1} = 4\). Vậy ta cần tìm \(m\) sao cho: \[\frac{1}{x_1^4} + \frac{1}{x_2^4} = \frac{1}{m^4} + \frac{1}{4^4} = \frac{257}{256}\] Giải phương trình này, ta có: \[\frac{1}{m^4} = \frac{257}{256} - \frac{1}{4^4} = \frac{257}{256} - \frac{1}{256} = \frac{256}{256} = 1\] \[m^4 = 1\] Vậy ta có \(m = 1\) hoặc \(m = -1\) để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu. Đối với bài toán rút gọn biểu thức: \[A = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} + \sqrt{13 + 2\sqrt{42}}\] Chúng ta sẽ tận dụng công thức khai triển đại số \(a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2\). Thực hiện bước này, ta có: \[A = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} + \sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{6})^2}\] \[A = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} + \sqrt{7 + 2\sqrt{7}\sqrt{6} + 6}\] \[A = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} + \sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{6})^2}\] Áp dụng công thức khai triển đại số một lần nữa, ta có: \[A = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} + \sqrt{7} + \sqrt{6}\] Để rút gọn biểu thức này, ta nhân cả tử và mẫu của phân số đầu tiên với \(\sqrt{7} - \sqrt{6}\): \[A = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{7 - 6} + \sqrt{7} + \sqrt{6}\] \[A = \sqrt{7} - \sqrt{6} + \sqrt{7} + \sqrt{6}\] Kết hợp các số hạng có căn bên trong, ta có: \[A = 2\sqrt{7}\] Vậy biểu thức $A$ được rút gọn thành \(2\sqrt{7}\).