Cho 1/x+1/y+1/z=0.Tính S=xy/z^2+yz/x^2+xz/y^2

Question

hoanghai2k9 · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} =0\
\Rightarrow \frac{1}{x} +\frac{1}{y} =\frac{-1}{z}\
\Rightarrow \left(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} ight)^{3} =\frac{-1}{z^{3}}\
\Rightarrow \frac{1}{x^{3}} +3.\frac{1}{x^{2}} .\frac{1}{y} +3.\frac{1}{x} .\frac{1}{y^{2}} +\frac{1}{y^{3}} =\frac{-1}{z^{3}}\
\Rightarrow \frac{1}{x^{3}} +\frac{1}{y^{3}} +\frac{1}{z^{3}} =\frac{-3}{xy}\left(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} ight)\
\Rightarrow \frac{1}{x^{3}} +\frac{1}{y^{3}} +\frac{1}{z^{3}} =\frac{-3}{xy} .\frac{-1}{z}\
\Rightarrow \left(\frac{1}{x^{3}} +\frac{1}{y^{3}} +\frac{1}{z^{3}} ight) xyz=3\
\Rightarrow \frac{yz}{x^{2}} +\frac{xz}{y^{2}} +\frac{xy}{z^{2}} =3\
\Rightarrow S=3
\end{array}$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta sử dụng công thức về tổng và tích của 3 số hạng trong phương trình 1/x + 1/y + 1/z = 0.

Theo đó, ta có: 
1/x + 1/y + 1/z = (yz + zx + xy) / xyz = 0
=> yz + zx + xy = 0

Bây giờ, ta thay các giá trị này vào biểu thức S cần tìm:

S = xy/z^2 + yz/x^2 + xz/y^2
= (xy^2z + y^2z^2 + x^2z^2) / (x^2y^2z^2)
= (x + y + z) / (xyz)

Nhưng ta đã biết rằng yz + zx + xy = 0 nên x + y + z = 0.

Vậy S = 0 / (xyz) = 0.

Duy Hùng · Answer

Để tính giá trị của biểu thức S, ta sẽ sử dụng thông tin đã cho và các phép biến đổi tương đương.

Cho 1/x + 1/y + 1/z = 0. Ta có thể viết lại biểu thức này thành (xy + yz + xz)/(xyz) = 0.

Giả sử xyz ≠ 0 (vì nếu xyz = 0, thì biểu thức S không xác định).

Ta nhân cả hai vế của phương trình trên với xyz để loại bỏ mẫu số:

xy + yz + xz = 0.

Bây giờ, ta sẽ tính giá trị của biểu thức S = xy/z^2 + yz/x^2 + xz/y^2.

Thay thế xy + yz + xz = 0 vào biểu thức S:

S = (xy/z^2) + (yz/x^2) + (xz/y^2)

= (xy/z^2) - (xy/z^2) + (yz/x^2) - (yz/x^2) + (xz/y^2) - (xz/y^2)

= 0.

Vậy, giá trị của biểu thức S là 0.

Lưu ý: Khi xyz = 0, biểu thức S không xác định và không có giá trị

Sheep · Answer

【Câu trả lời】：$ S = -\frac{x^2}{y(x + y)} - \frac{y^2}{x(x + y)} + \frac{(x + y)^2}{xy} $

【Giải thích】：Đầu tiên, từ $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 $, ta có $ z = -\frac{xy}{x + y} $. Thay giá trị $ z $ vào biểu thức $ S $, ta được $ S = -\frac{x^2}{y(x + y)} - \frac{y^2}{x(x + y)} + \frac{(x + y)^2}{xy} $