Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, Kẻ HM vuông AB, HN vuông AC. B a) Chứng minh: AM.AB=AN.AC b) AM.MB+AN.NC=AH^2, BC = AB cosB+ AC cos C c) Chứng minh: MN vuông AE, với AE là đườn...

a) Ta có:

• Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có AH là đường cao.
• Kẻ HM vuông AB và HN vuông AC.
• Vì tam giác ABC vuông tại A nên AM là đường trung bình của tam giác ABC.

Áp dụng định lí Euclid trong tam giác vuông, ta có:

AM.AB = AH^2 + HM.AB

AM.AB = AH^2 + HN.AC

Vì HM = HN (cùng là chiều cao của tam giác ABC), nên ta có:

AM.AB = AH^2 + AH.AC

AM.AB = AH(AH + AC)

AM.AB = AN.AC

Vậy ta đã chứng minh được AM.AB = AN.AC.

b) Ta có:

• Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có AH là đường cao.
• Kẻ HM vuông AB và HN vuông AC.
• Vì tam giác ABC vuông tại A nên AM là đường trung bình của tam giác ABC.

Áp dụng định lí Euclid trong tam giác vuông, ta có:

AM.MB + AN.NC = AH^2 + HM.MB + HN.NC

AM.MB + AN.NC = AH^2 + (AB - AM).MB + (AC - AN).NC

AM.MB + AN.NC = AH^2 + AB.MB - AM.MB + AC.NC - AN.NC

AM.MB + AN.NC = AH^2 + AB.MB + AC.NC - AM.MB - AN.NC

AM.MB + AN.NC = AH^2 + AB.MB + AC.NC - AM.MB - AN.NC + AM.AN - AM.AN

AM.MB + AN.NC = (AM.AN + AB.MB + AC.NC) - (AM.MB + AN.NC - AM.AN)

AM.MB + AN.NC = AB.AN + AC.AM

Vì AB.AN = AC.AM (do chứng minh ở câu a), nên ta có:

AM.MB + AN.NC = AB.AN + AC.AM

AM.MB + AN.NC = AH^2

Vậy ta đã chứng minh được AM.MB + AN.NC = AH^2.

c) Ta có:

• Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có AH là đường cao.
• Kẻ HM vuông AB và HN vuông AC.
• Vì tam giác ABC vuông tại A nên AM là đường trung bình của tam giác ABC.

Áp dụng tính chất của đường trung tuyến, ta có:

MN || BC và MN = 1/2BC

AE là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AE = 1/2BC

Vậy ta đã chứng minh được MN vuông góc với AE.

1. d) Áp dụng tính chất của tam giác vuông, ta có:

• Góc DAB = góc BAH (điều cần chứng minh)
• Tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao
• Kẻ HM vuông AB và HN vuông AC

1. Vì góc DAB = góc BAH, ta có:
2. BD.EC = AH^2 - 1/2(AB.BC + AD.AC - AD.BC)
3. Để chứng minh góc DAB = góc BAH, ta cần chứng minh BD.EC = BH.DE.
4. Áp dụng định lí Euclid trong tam giác vuông, ta có:
5. BH.DE = (AB - BD)(AC - EC)
6. BH.DE = AB.AC - AB.EC - BD.AC + BD.EC
7. Vì AB.AC = AH^2 (do chứng minh ở câu a), ta có:
8. BH.DE = AH^2 - AB.EC - BD.AC + BD.EC
9. BH.DE = AH^2 - AB.EC + BD.EC - BD.AC
10. Vì EC = AC - AE và BD = BC - CD, ta có:
11. BH.DE = AH^2 - AB.(AC - AE) + (BC - CD).EC - (BC - CD).AC
12. BH.DE = AH^2 - AB.AC + AB.AE + BC.EC - CD.EC - BC.AC + CD.AC
13. BH.DE = AH^2 - AB.AC + AB.AE + BC.(AC - AE) - CD.EC - BC.AC + CD.AC
14. BH.DE = AH^2 - AB.AC + AB.AE + BC.AC - BC.AE - CD.EC - BC.AC + CD.AC
15. BH.DE = AH^2 - AB.AE - BC.AE - CD.EC + CD.AC
16. BH.DE = AH^2 - AE.(AB + BC - CD) + CD.AC
17. Vì AB + BC = AC (định lý cộng các góc trong tam giác), ta có:
18. BH.DE = AH^2 - AE.(AC - CD) + CD.AC
19. BH.DE = AH^2 - AE.AD + CD.AC
20. Vì AE.AD = AH^2 (do chứng minh ở câu b), ta có:
21. BH.DE = 0
22. Vậy ta đã chứng minh được BD.EC = BH.DE.
23. e) Gọi I là giao điểm của MN và BC.
24. Để chứng minh IH^2 = IB.IC, ta cần sử dụng các thông tin sau:

• Tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao
• Kẻ HM vuông AB và HN vuông AC
• MN || BC và MN vuông góc với AE (chứng minh ở câu c)

1. Áp dụng định lí Euclid trong tam giác vuông, ta có:
2. IH^2 = IN^2 + NH^2
3. IH^2 = (AN - AI)^2 + NH^2
4. IH^2 = AN^2 - 2.AN.AI + AI^2 + NH^2
5. Áp dụng định lí Euclid trong tam giác vuông, ta có:
6. IB.IC = (AB - AI)(AC - AI)
7. IB.IC = AB.AC - AB.AI - AC.AI + AI^2
8. IB.IC = AB.AC - AI.(AB + AC) + AI^2
9. Vì AB.AC = AH^2 (do chứng minh ở câu a), và AB + AC = BC (định lý cộng các góc trong tam giác), ta có:
10. IB.IC = AH^2 - AI.BC + AI^2
11. IB.IC = AH^2 - AI.(BC - AI) + AI^2
12. IB.IC = AH^2 - AI.IN + AI^2
13. Vì IN = AN - AI, ta có:
14. IB.IC = AH^2 - AI.(AN - AI) + AI^2
15. IB.IC = AH^2 - AI.AN + AI^2 + AI^2
16. IB.IC = AN^2 - 2.AN.AI + AI^2 + AI^2
17. IB.IC = IH^2
18. Vậy ta đã chứng minh được IH^2 = IB.IC.