chứng minh định lí fermat

Định lý Fermat nhỏ phát biểu như sau:

Cho $(\mathrm{a} ,\mathrm{p} )=1$ và $\mathrm{p}$ là số nguyên tố. $\mathrm{CMR} :a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$
Chứng minh: 
$\displaystyle a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)\Leftrightarrow a^{p-1} -1:p\Leftrightarrow a^{p} -a:p$
*Nếu a là số nguyên dương 
Ta giả sử (1) đúng với $\mathrm{a} =\mathrm{n}$. Ta có $n^{p} -n:p$ 
Ta sẽ chứng minh (1) đúng với $\mathrm{a} =\mathrm{n} +1$. Thật vậy:
$\displaystyle (n+1)^{p} -(n+1)=n^{p} +n^{p-1} +\frac{n(n-1)}{2!} n^{p-2} +\dotsc +\frac{n(n-1)}{2!} n^{2} +n+1$
Đặt $C_{k}^{p} =\frac{p(p-1)\cdots (p-k+1)}{k!}$
vì p là số nguyên tố nên $\frac{(p-1)\dotsc (p-k+1)}{k!}$ là số nguyên và $n^{p-k}$ cũng là số nguyên nên: $p\left( n^{p-1} +\frac{p-1}{2!} \cdot n^{p-2} +\dotsc +n\right)$ là số nguyên chia hết cho $\mathrm{p}$.
Vậy ta có
\begin{equation*}
(n+1)^{p} -n-1=n^{p} +pm+1-n-1
\end{equation*}
(với $\mathrm{m}$ thuộc $\mathrm{Z}$ nào đó)
$=n^{p} -n+pm$ (dễ dàng thấy nó chia hết cho $\mathrm{p}$ )
*Nếu a là số nguyên âm.
$+) \ p=2\Longrightarrow $ đúng
$+) \ \mathrm{p}$ lẻ thì đặt $a^{p} -a=-b^{p} +b=-\left( b^{p} -b\right)$ : $p$ (với b là số nguyên dương, $a=-b$ )
Vậy $a^{p} -a:p$ với mọi $a\in Z$