giải toán 12

Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần xác định vị trí ban đầu và vị trí mới của chiếc đèn trong không gian ba chiều, sau đó tính khoảng cách giữa hai vị trí này. Bước 1: Xác định vị trí ban đầu của chiếc đèn - Vị trí ban đầu của chiếc đèn cách trần nhà 0,5 mét, cách hai tường lần lượt là 1,4 mét và 1,6 mét. - Ta có thể coi trần nhà là mặt phẳng \( z = 0 \), do đó vị trí ban đầu của chiếc đèn sẽ có tọa độ \( (x_1, y_1, z_1) \) với: - \( z_1 = 0,5 \) (vì cách trần nhà 0,5 mét) - \( x_1 = 1,4 \) (vì cách tường thứ nhất 1,4 mét) - \( y_1 = 1,6 \) (vì cách tường thứ hai 1,6 mét) Bước 2: Xác định vị trí mới của chiếc đèn - Vị trí mới của chiếc đèn cách trần nhà 0,4 mét và cách hai tường đều 1,7 mét. - Tọa độ vị trí mới của chiếc đèn là \( (x_2, y_2, z_2) \) với: - \( z_2 = 0,4 \) (vì cách trần nhà 0,4 mét) - \( x_2 = 1,7 \) (vì cách tường thứ nhất 1,7 mét) - \( y_2 = 1,7 \) (vì cách tường thứ hai 1,7 mét) Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai vị trí - Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều được tính theo công thức: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] - Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ d = \sqrt{(1,7 - 1,4)^2 + (1,7 - 1,6)^2 + (0,4 - 0,5)^2} \] \[ d = \sqrt{(0,3)^2 + (0,1)^2 + (-0,1)^2} \] \[ d = \sqrt{0,09 + 0,01 + 0,01} \] \[ d = \sqrt{0,11} \] \[ d \approx 0,33 \] Vậy, vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu khoảng 0,33 mét. Câu 1: Để xác định các khoảng biến thiên và các điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = -2t^3 + 6t^2 + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dt}(-2t^3 + 6t^2 + 1) = -6t^2 + 12t \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -6t^2 + 12t = 0 \] \[ -6t(t - 2) = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 2 \] 3. Xác định dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng xác định: - Khoảng \( (-\infty, 0) \): Chọn \( t = -1 \): \[ y'(-1) = -6(-1)^2 + 12(-1) = -6 - 12 = -18 < 0 \] Hàm số giảm trên khoảng \( (-\infty, 0) \). - Khoảng \( (0, 2) \): Chọn \( t = 1 \): \[ y'(1) = -6(1)^2 + 12(1) = -6 + 12 = 6 > 0 \] Hàm số tăng trên khoảng \( (0, 2) \). - Khoảng \( (2, \infty) \): Chọn \( t = 3 \): \[ y'(3) = -6(3)^2 + 12(3) = -54 + 36 = -18 < 0 \] Hàm số giảm trên khoảng \( (2, \infty) \). 4. Xác định các điểm cực trị: - Tại \( t = 0 \): \[ y(0) = -2(0)^3 + 6(0)^2 + 1 = 1 \] Hàm số đạt cực tiểu tại \( t = 0 \) với giá trị \( y = 1 \). - Tại \( t = 2 \): \[ y(2) = -2(2)^3 + 6(2)^2 + 1 = -16 + 24 + 1 = 9 \] Hàm số đạt cực đại tại \( t = 2 \) với giá trị \( y = 9 \). Kết luận: - Hàm số giảm trên khoảng \( (-\infty, 0) \). - Hàm số tăng trên khoảng \( (0, 2) \). - Hàm số giảm trên khoảng \( (2, \infty) \). - Điểm cực tiểu của hàm số là \( (0, 1) \). - Điểm cực đại của hàm số là \( (2, 9) \). Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\): Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a} = (3; 2; 1)\) và \(\overrightarrow{b} = (-5; 2; -4)\) được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \] Thay các giá trị vào, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot (-5) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-4) \] \[ = -15 + 4 - 4 \] \[ = -15 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(-15\). b) Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\): Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) được tính bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\|\overrightarrow{a}\| \cdot \|\overrightarrow{b}\|} \] Trước tiên, ta cần tính độ dài của từng vectơ: \[ \|\overrightarrow{a}\| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \] \[ \|\overrightarrow{b}\| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 4 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] Thay các giá trị vào công thức tính \(\cos \theta\): \[ \cos \theta = \frac{-15}{\sqrt{14} \cdot 3\sqrt{5}} \] \[ = \frac{-15}{3\sqrt{70}} \] \[ = \frac{-5}{\sqrt{70}} \] Vậy, góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) có \(\cos \theta = \frac{-5}{\sqrt{70}}\). Để tìm góc \(\theta\), ta có thể sử dụng máy tính để tính giá trị của \(\theta\) từ \(\cos \theta\).