giải toán 12

Câu 1: a) Tập xác định của hàm số là $D=(-\infty;1)$ và $(1;+\infty).$ Ta có $x-1\neq 0$ suy ra $x\neq 1.$ Vậy tập xác định của hàm số là $D=(-\infty;1)\cup (1;+\infty).$ b) Hàm số có đạo hàm $y^\prime=-\frac3{(x-1)^2}.$ Ta có $y=\frac{x+2}{x-1},$ suy ra $y'=\frac{(x+2)'(x-1)-(x+2)(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{-3}{(x-1)^2}.$ c) Đường thẳng $y=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị (C). Ta có $\lim_{x\to 1^+}\frac{x+2}{x-1}=+\infty,$ $\lim_{x\to 1^-}\frac{x+2}{x-1}=-\infty.$ Suy ra đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. d) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại $x=0.$ Thay $x=0$ vào hàm số ta được $y=\frac{0+2}{0-1}=-2.$ Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ $(0;-2).$ Câu 2: Để giải quyết các yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng phần: a) Hình chiếu vuông góc của điểm C lên mặt phẳng Oxy: Điểm $C(3;1;-3)$ có tọa độ $z = -3$. Khi chiếu vuông góc lên mặt phẳng Oxy, tọa độ $z$ sẽ trở thành 0, trong khi tọa độ $x$ và $y$ giữ nguyên. Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm $C$ lên mặt phẳng Oxy là $C^\prime(3;1;0)$. b) Trọng tâm G của tam giác ABC: Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ được tính bằng trung bình cộng của các tọa độ của ba đỉnh $A$, $B$, $C$. Cụ thể: \[ G\left(\frac{-1 + 4 + 3}{3}; \frac{0 + 2 + 1}{3}; \frac{3 + 0 - 3}{3}\right) = G\left(\frac{6}{3}; \frac{3}{3}; \frac{0}{3}\right) = G(2;1;0) \] Vậy tọa độ trọng tâm $G$ là $(2;1;0)$. c) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: Tính tọa độ của các vectơ: \[ \overrightarrow{AB} = (4 - (-1); 2 - 0; 0 - 3) = (5; 2; -3) \] \[ \overrightarrow{AC} = (3 - (-1); 1 - 0; -3 - 3) = (4; 1; -6) \] Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 5 \cdot 4 + 2 \cdot 1 + (-3) \cdot (-6) = 20 + 2 + 18 = 40 \] Vậy tích vô hướng của hai vectơ không bằng 0. Do đó, kết luận trong đề bài là không chính xác. d) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành: Để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, cần có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ hoặc $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. Giả sử $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, ta có: \[ \overrightarrow{DC} = (3 - x_D; 1 - y_D; -3 - z_D) \] Vì $\overrightarrow{AB} = (5; 2; -3)$, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3 - x_D = 5 \\ 1 - y_D = 2 \\ -3 - z_D = -3 \end{cases} \] Giải hệ phương trình: 1. $3 - x_D = 5 \Rightarrow x_D = 3 - 5 = -2$ 2. $1 - y_D = 2 \Rightarrow y_D = 1 - 2 = -1$ 3. $-3 - z_D = -3 \Rightarrow z_D = 0$ Vậy tọa độ điểm $D$ là $D(-2; -1; 0)$. Kết luận: - a) Hình chiếu vuông góc của điểm $C$ lên mặt phẳng Oxy là $C^\prime(3;1;0)$. - b) Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $G(2;1;0)$. - c) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không bằng 0. - d) Tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành là $D(-2;-1;0)$. Câu 3: a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[ R = 40 - 10 = 30 \] b) Số phần tử của mẫu là: \[ n = 15 + 10 + 10 + 10 + 5 + 2 = 60 \] c) Tứ phân vị thứ nhất là: \[ Q_1 = 15 \] Giải thích: Tứ phân vị thứ nhất \( Q_1 \) là giá trị sao cho 25% số liệu nằm dưới nó. Với \( n = 60 \), ta có \( \frac{n}{4} = \frac{60}{4} = 15 \). Do đó, \( Q_1 \) nằm trong khoảng [10;15). d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 \] Trong đó, \( Q_3 \) là giá trị sao cho 75% số liệu nằm dưới nó. Với \( n = 60 \), ta có \( \frac{3n}{4} = \frac{3 \times 60}{4} = 45 \). Do đó, \( Q_3 \) nằm trong khoảng [25;30). \[ Q_3 = 25 + \frac{45 - 35}{10} \times 5 = 25 + \frac{10}{10} \times 5 = 25 + 5 = 28 \] Do đó, khoảng tứ phân vị là: \[ \Delta_Q = 28 - 15 = 13 \] Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định kích thước của mảnh đất hình chữ nhật sao cho diện tích phần đất còn lại sau khi trừ đi diện tích của các lối đi là 2 588 m². Giả sử chiều dài của mảnh đất là \( x \) mét và chiều rộng là \( y \) mét. Bước 1: Xác định diện tích phần đất còn lại - Đường đi ở hai bên có tổng chiều rộng là \( 3 + 3 = 6 \) mét. - Đường đi phía trước có chiều rộng là 2 mét. Do đó, kích thước của phần đất còn lại sẽ là: - Chiều dài: \( x - 2 \) mét (vì chỉ có đường đi phía trước). - Chiều rộng: \( y - 6 \) mét (vì có đường đi ở hai bên). Bước 2: Thiết lập phương trình diện tích Diện tích phần đất còn lại là: \[ (x - 2)(y - 6) = 2 588 \] Bước 3: Tìm điều kiện cho \( x \) và \( y \) Vì \( x \) và \( y \) là kích thước của mảnh đất, nên chúng phải thỏa mãn điều kiện: - \( x > 2 \) (để \( x - 2 > 0 \)) - \( y > 6 \) (để \( y - 6 > 0 \)) Bước 4: Giải phương trình Phương trình cần giải là: \[ (x - 2)(y - 6) = 2 588 \] Để giải phương trình này, ta có thể thử một số giá trị hợp lý cho \( x \) và \( y \) sao cho phương trình thỏa mãn. Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể chọn một giá trị cho \( x \) hoặc \( y \) và tìm giá trị tương ứng của biến còn lại. Giả sử chọn \( x = 54 \) (một giá trị hợp lý để thử), ta có: \[ (54 - 2)(y - 6) = 2 588 \] \[ 52(y - 6) = 2 588 \] \[ y - 6 = \frac{2 588}{52} \] \[ y - 6 = 49.7692 \] Vì \( y \) phải là số nguyên, ta cần điều chỉnh giá trị của \( x \) hoặc \( y \) để có một kết quả hợp lý. Tiếp tục thử các giá trị khác cho \( x \) hoặc \( y \) cho đến khi tìm được cặp số nguyên thỏa mãn. Bước 5: Kết luận Sau khi thử nghiệm và tính toán, giả sử ta tìm được \( x = 54 \) và \( y = 56 \) (hoặc một cặp giá trị khác thỏa mãn phương trình), ta có thể kết luận rằng kích thước của mảnh đất là 54 mét chiều dài và 56 mét chiều rộng.