Cho x, y là số thực thỏa mãn x^2 + y^2 + xy - 3x - 3y + 3 = 0. Chứng minh biểu thức P= (3x + 2y - 6)^1010 + (x - y +1)^2021 có giá trị là một số nguyên.

Ta có: x² + y² + xy .- 3x - 3y + 3 = 0

   =>( x² - 2x + 1) - x + ( y² - 2y + 1) - y + xy + 1 = 0

   => (x-1)² + (y-1)² + ( -x + -y + xy +1) = 0

   => (x-1)² + (y-1)²  + [(-x+ xy) + (-y+1)] = 0

   => (x-1)² + (y-1)² + [ x(y-1) - (y-1)] = 0

   => (x-1)² + (y-1)² + (x-1)(y-1) = 0

   => (x-1)² +  2.1/2.(x-1)(y-1) + (1/2)².(y-1)² + 3/4.(y-1)² = 0

  => [x-1+1/2(y-1) ]² + 3/4.(y-1)²  = 0

  Vì: [x-1+1/2(y-1) ]²  >= 0 với mọi x;y thuộc R

     3/4.(y-1)^{2 >= 0 với mọi y thuộc R}

   => (x-1+1/2y -1/2 = 0) và ( y-1 = 0)

   => (x = 1/2 -1/2y+1) và (y=1)

   => x = y =1

Chỗ này thay giá trị vào biểu thức rồi chứng minh = cách chỉ ra các cơ số của từng lũy thừa là số nguyên là xong.