chứng minh đa thức sau luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến a,D=-x^2-2x-6 b,E=-2x^2+x-15 c,F=-x^4+4x^2-6 d,G=-3/4x^4-3x^2-6
Mọi người giúp em với ạ,chiều em phải nộp rồi

Question

chứng minh đa thức sau luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến a,D=-x^2-2x-6 b,E=-2x^2+x-15 c,F=-x^4+4x^2-6 d,G=-3/4x^4-3x^2-6 
Mọi người giúp em với ạ,chiều em phải nộp rồi

Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} a,\ D=-x^{2} -2x-6\ \ \ \ \ D=-\left( x^{2} +2x+1 ight) -5\ \ \ \ D=-( x+1)^{2} -5 \end{array}$

Vì $\displaystyle ( x+1)^{2} \geqslant 0\forall x$

Suy ra $\displaystyle -( x+1)^{2} \leqslant 0\ \forall x$

Suy ra $\displaystyle -( x+1)^{2} -5\leqslant -5< 0\ \forall x$ (điều phải chứng minh)

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
b,\ E=-2x^{2} +x-15\
\ \ \ \ E=-2.\left( x^{2} -\frac{1}{2} x ight) -15\
\ \ \ E=-2.\left( x^{2} -2.x.\frac{1}{4} +\frac{1}{16} -\frac{1}{16} ight) -15\
\ \ \ E=-2\left( x-\frac{1}{4} ight)^{2} +\frac{1}{8} -15
\end{array}$
$\displaystyle \ \ E=-2\left( x-\frac{1}{4} ight)^{2} -\frac{119}{8} $

Vì $\displaystyle -2\left( x-\frac{1}{4} ight)^{2} \leqslant 0;-\frac{119}{8} < 0$

Suy ra $\displaystyle \ \ E=-2\left( x-\frac{1}{4} ight)^{2} -\frac{119}{8} <0\forall x $
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
c,F=\ -x^{4} +4x^{2} -6\
=-\left( x^{4} +4x^{2} +4 ight) -2
\end{array}$
$\displaystyle =-\left( x^{2} +2 ight)^{2} -2$

Vì $\displaystyle -\left( x^{2} +2 ight) \leqslant 0\forall x;-2< 0$

Suy ra $\displaystyle =-\left( x^{2} +2 ight)^{2} -2<0 \forall x $
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
d,G=\ -\frac{3}{4} x^{2} -3x^{2} -6\
G=-3.\left(\frac{1}{4} x^{2} +2.\frac{1}{2} x.1+1 ight) -3\
G=-3\left(\frac{1}{2} x+1 ight)^{2} -3\
\end{array}$

Vì $\displaystyle -3\left(\frac{1}{2} x+1 ight)^{2} \leqslant 0\ \forall x,\ -3< 0$
Suy ra $\displaystyle -3\left(\frac{1}{2} x+1 ight)^{2} -3\displaystyle < 0\ \forall x$.

chứng minh đa thức sau luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến a,D=-x^2-2x-6 b,E=-2x^2+x-15 c,F=-x^4+4x^2-6 d,G=-3/4x^4-3x^2-6 Mọi người giúp em với ạ,chiều em phải nộp rồi