Cho T=2/2+3/2^2+4/2^3+...+2022/2^2021+2023/2^2022

Đầu tiên, chúng ta cần nhận ra rằng đây là một dạng của chuỗi hình học. Ta có thể viết lại biểu thức T như sau: T = \frac{2}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + ... + \frac{2022}{2^{2021}} + \frac{2023}{2^{2022}} = 1 + \frac{3}{2} + \frac{4}{2^2} + ... + \frac{2022}{2^{2020}} + \frac{2023}{2^{2021}} Nhìn vào biểu thức trên, ta thấy rằng mỗi số hạng của chuỗi có dạng \frac{n+1}{2^{n-1}}, với n bắt đầu từ 1. Bây giờ, hãy nhân cả hai vế của biểu thức trên cho 1/2, ta được: \frac{T}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + ... + \frac{2022}{2^{2021}} + \frac{2023}{2^{2022}} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + ... + \frac{2022}{2^{2021}} + \frac{2023}{2^{2022}} Khi trừ hai biểu thức trên, ta được: T - \frac{T}{2} = 1 + \frac{2}{2} + \frac{2}{2^2} + ... + \frac{2}{2^{2020}} + \frac{2}{2^{2021}} - \frac{2023}{2^{2022}} Sắp xếp lại, ta được: \frac{T}{2} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{2020}} + \frac{1}{2^{2021}} - \frac{2023}{2^{2022}} Đây là một chuỗi hình học với tổng S = a(1 - r^n) / (1 - r), với a = 1, r = 1/2 và n = 2022. Thay số vào công thức, ta được: \frac{T}{2} = 1 * (1 - (1/2)^{2022}) / (1 - 1/2) Sau khi tính toán, ta thấy rằng (1/2)^{2022} gần như bằng 0, do đó biểu thức trên có thể được xấp xỉ là: \frac{T}{2} = 1 Do đó, T = 2.0.