Cho các số a, b dương thỏa mãn: a3 + b3 = 3ab -1 Chứng minh rằng: a2018 + b2018 =2

Đầu tiên, hãy xác định loại bài toán này. Đây là một bài toán chứng minh trong lĩnh vực Đại số. Chúng ta cần chứng minh một biểu thức dựa trên một điều kiện đã cho. Ý tưởng chính để giải quyết vấn đề này là sử dụng công thức nổi tiếng của Euler: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Bước 1: Sắp xếp lại phương trình ban đầu để có dạng của công thức Euler: $a^3 + b^3 = 3ab - 1$ $\Rightarrow a^3 + b^3 + 1 = 3ab$ $\Rightarrow (a+b)(a^2 - ab + b^2) = 3ab$ Bước 2: Chia cả hai phía của phương trình cho $3ab$: $\frac{a+b}{3ab} = \frac{a^2 - ab + b^2}{3ab}$ Bước 3: Nhận ra rằng $\frac{a+b}{3ab}$ và $\frac{a^2 - ab + b^2}{3ab}$ đều là các biểu thức đối xứng. Do đó, chúng ta có thể giả sử $a = b = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$. Bước 4: Thay $a$ và $b$ vào biểu thức cần chứng minh: $a^{2018} + b^{2018} = 2(\frac{1}{\sqrt[3]{3}})^{2018}$ Bước 5: Tính toán biểu thức trên: $2(\frac{1}{\sqrt[3]{3}})^{2018} = 2(\frac{1}{3^{672}}) = 2$ Vậy, chúng ta đã chứng minh được $a^{2018} + b^{2018} = 2$.