TÌM SỐ NGUYÊN X SAO CHO GIÁ TRỊ CỦA P =X^2+X/X^2+X+1 BẰNG GIÁ TRỊ SỐ NGUYÊN

Để tìm số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức \(P = \frac{{x^2 + x}}{{x^2 + x + 1}}\) bằng một số nguyên, ta cần giải phương trình \(P = n\), trong đó \(n\) là một số nguyên. Bước 1: Đặt \(P = n\) và thực hiện phép nhân với mẫu số \(x^2 + x + 1\) để loại bỏ phân số: \[P(x^2 + x + 1) = n(x^2 + x)\] Bước 2: Mở ngoặc và sắp xếp các thành phần theo bậc giảm dần của \(x\): \[x^2 + x + 1 = nx^2 + nx\] Bước 3: Di chuyển tất cả các thành phần về một bên của phương trình để có dạng \(0 =\) : \[nx^2 + (n-1)x + 1 = 0\] Bước 4: Để phương trình trên có nghiệm nguyên, ta cần điều kiện delta (\(\Delta\)) là một số chính phương. Delta được tính bằng công thức \(\Delta = (n-1)^2 - 4n\). Bước 5: Giải phương trình \(\Delta = 0\) để tìm giá trị của \(n\) thỏa mãn điều kiện delta là một số chính phương: \[(n-1)^2 - 4n = 0\] Bước 6: Giải phương trình trên để tìm giá trị của \(n\). Ta có: \[n^2 - 6n + 1 = 0\] Bước 7: Giải phương trình trên bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[n = \frac{{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(1)}}}{2(1)}\] Bước 8: Tính toán giá trị của \(n\) bằng cách giải phương trình trên: \[n = \frac{{6 \pm \sqrt{36 - 4}}}{2} = \frac{{6 \pm \sqrt{32}}}{2} = \frac{{6 \pm 4\sqrt{2}}}{2}\] Bước 9: Rút gọn biểu thức trên: \[n = 3 \pm 2\sqrt{2}\] Bước 10: Để delta là một số chính phương, ta cần \(n = 3 - 2\sqrt{2}\) hoặc \(n = 3 + 2\sqrt{2}\). Bước 11: Kiểm tra giá trị của \(n\) để tìm ra số nguyên x tương ứng. Ta thay \(n = 3 - 2\sqrt{2}\) vào phương trình ban đầu: \[x^2 + x + 1 = (3 - 2\sqrt{2})x^2 + (3 - 2\sqrt{2})x\] Bước 12: Mở ngoặc và sắp xếp các thành phần theo bậc giảm dần của \(x\): \[x^2 + x + 1 = (3 - 2\sqrt{2})x^2 + (3 - 2\sqrt{2})x\] Bước 13: Di chuyển tất cả các thành phần về một bên của phương trình để có dạng \(0 =\) : \[(3 - 2\sqrt{2})x^2 + (3 - 2\sqrt{2})x - x^2 - x - 1 = 0\] Bước 14: Kết hợp các thành phần tương tự: \[(2 - 2\sqrt{2})x^2 + (2 - 2\sqrt{2})x - 1 = 0\] Bước 15: Để phương trình trên có nghiệm nguyên, ta cần điều kiện delta (\(\Delta\)) là một số chính phương. Delta được tính bằng công thức \(\Delta = (2 - 2\sqrt{2})^2 - 4(2 - 2\sqrt{2})(-1)\). Bước 16: Giải phương trình \(\Delta = 0\) để tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện delta là một số chính phương: \[(2 - 2\sqrt{2})^2 - 4(2 - 2\sqrt{2})(-1) = 0\] Bước 17: Giải phương trình trên để tìm giá trị của \(x\). Ta có: \[x = \frac{{-(2 - 2\sqrt{2}) \pm \sqrt{(2 - 2\sqrt{2})^2 - 4(2 - 2\sqrt{2})(-1)}}}{2(2 - 2\sqrt{2})}\] Bước 18: Tính toán giá trị của \(x\) bằng cách giải phương trình trên: \[x = \frac{{-(2 - 2\sqrt{2}) \pm \sqrt{4 - 8\sqrt{2} + 8 + 8\sqrt{2}}}}{2(2 - 2\sqrt{2})}\] \[x = \frac{{-(2 - 2\sqrt{2}) \pm \sqrt{12}}}{2(2 - 2\sqrt{2})}\] \[x = \frac{{-(2 - 2\sqrt{2}) \pm 2\sqrt{3}}}{2(2 - 2\sqrt{2})}\] Bước 19: Rút gọn biểu thức trên: \[x = \frac{{-2 + 2\sqrt{2} \pm 2\sqrt{3}}}{2(2 - 2\sqrt{2})}\] \[x = \frac{{-1 + \sqrt{2} \pm \sqrt{3}}}{2 - 2\sqrt{2}}\] Bước 20: Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng giá trị của \(x\) không phải là số nguyên khi thay \(n = 3 - 2\sqrt{2}\) vào phương trình ban đầu. Do đó, giá trị \(n = 3 - 2\sqrt{2}\) không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Bước 21: Tiếp tục kiểm tra giá trị của \(n\) để tìm ra số nguyên x tương ứng. Ta thay \(n = 3 + 2\sqrt{2}\) vào phương trình ban đầu: \[x^2 + x + 1 = (3 + 2\sqrt{2})x^2 + (3 + 2\sqrt{2})x\] Bước 22: Mở ngoặc và sắp xếp các thành phần theo bậc giảm dần của \(x\): \[x^2 + x + 1 = (3 + 2\sqrt{2})x^2 + (3 + 2\sqrt{2})x\] Bước 23: Di chuyển tất cả các thành phần về một bên của phương trình để có dạng \(0 =\) : \[(3 + 2\sqrt{2})x^2 + (3 + 2\sqrt{2})x - x^2 - x - 1 = 0\] Bước 24: Kết hợp các thành phần tương tự: \[(2 + 2\sqrt{2})x^2 + (2 + 2\sqrt{2})x - 1 = 0\] Bước 25: Để phương trình trên có nghiệm nguyên, ta cần điều kiện delta (\(\Delta\)) là một số chính phương. Delta được tính bằng công thức \(\Delta = (2 + 2\sqrt{2})^2 - 4(2 + 2\sqrt{2})(-1)\). Bước 26: Giải phương trình \(\Delta = 0\) để tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện delta là một số chính phương: \[(2 + 2\sqrt{2})^2 - 4(2 + 2\sqrt{2})(-1) = 0\] Bước 27: Giải phương trình trên để tìm giá trị của \(x\). Ta có: \[x = \frac{{-(2 + 2\sqrt{2}) \pm \sqrt{(2 + 2\sqrt{2})^2 - 4(2 + 2\sqrt{2})(-1)}}}{2(2 + 2\sqrt{2})}\] Bước 28: Tính toán giá trị của \(x\) bằng cách giải phương trình trên: \[x = \frac{{-(2 + 2\sqrt{2}) \pm \sqrt{4 + 8\sqrt{2} + 8 - 8\sqrt{2}}}}{2(2 + 2\sqrt{2})}\] \[x = \frac{{-(2 + 2\sqrt{2}) \pm \sqrt{12}}}{2(2 + 2\sqrt{2})}\] \[x = \frac{{-(2 + 2\sqrt{2}) \pm 2\sqrt{3}}}{2(2 + 2\sqrt{2})}\] Bước 29: Rút gọn biểu thức trên: \[x = \frac{{-2 - 2\sqrt{2} \pm 2\sqrt{3}}}{2(2 + 2\sqrt{2})}\] \[x = \frac{{-1 - \sqrt{2} \pm \sqrt{3}}}{2 + 2\sqrt{2}}\] Bước 30: Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng giá trị của \(x\) không phải là số nguyên khi thay \(n = 3 + 2\sqrt{2}\) vào phương trình ban đầu. Do đó, giá trị \(n = 3 + 2\sqrt{2}\) cũng không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Bước 31: Vậy, không có giá trị của \(n\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán.