............................................................................................

1. Loại bài toán và ý tưởng chính: Bài toán này thuộc loại bài toán về đường trung bình và đường trung trực trong tam giác. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng các tính chất của đường trung bình và đường trung trực trong tam giác, cùng với việc sử dụng các định lý về đường song song trong hình học. 2. Giải bài toán từng bước: a) Chứng minh EF là đường trung bình của tam giác ABC: - Bước 1: Vì M là trung điểm của BC nên ta có $BM = MC$. - Bước 2: Vì tia Mx song song với AC và tia My song song với AB nên theo định lý về đường song song, ta có $\frac{ME}{EA} = \frac{MB}{BC}$ và $\frac{MF}{FA} = \frac{MC}{CB}$. - Bước 3: Từ bước 1 và bước 2, ta có $\frac{ME}{EA} = \frac{MF}{FA} = \frac{1}{2}$. - Bước 4: Theo định nghĩa, EF là đường trung bình của tam giác ABC nếu và chỉ nếu $\frac{ME}{EA} = \frac{MF}{FA}$ và $ME = MF$. Từ bước 3, ta đã chứng minh được điều này. b) Chứng minh AM là đường trung trực của EF: - Bước 1: Vì tam giác ABC cân tại A nên góc BAM = góc CAM. - Bước 2: Vì tia Mx song song với AC và tia My song song với AB nên góc EAM = góc BAM và góc FAM = góc CAM. - Bước 3: Từ bước 1 và bước 2, ta có góc EAM = góc FAM. Do đó, AM là đường phân giác của góc EAF. - Bước 4: Theo định nghĩa, AM là đường trung trực của EF nếu và chỉ nếu AM là đường phân giác của góc EAF và AM vuông góc với EF. Từ bước 3, ta đã chứng minh được phần đầu. - Bước 5: Để chứng minh AM vuông góc với EF, ta dùng lại tính chất của tam giác cân: góc EAM + góc FAM = 90 độ (vì chúng là góc kề của góc nhọn trong tam giác cân). Do đó, góc EAF = 90 độ và AM vuông góc với EF. - Bước 6: Từ bước 4 và bước 5, ta kết luận AM là đường trung trực của EF.