2x^2 + 4y^2 + 6y - 4y - 4xy + 2028

Chúng ta sẽ giải phương trình này bằng cách sử dụng phương pháp hoàn chỉnh. Đầu tiên, chúng ta cần đặt phương trình này về dạng chuẩn của một phương trình bậc hai. Phương trình ban đầu là: 2x^2 + 4y^2 + 6y - 4y - 4xy + 2028 Ta có thể nhóm các thành phần của phương trình theo từng biến: (2x^2 - 4xy) + (4y^2 + 6y - 4y) + 2028 Tiếp theo, chúng ta cần hoàn thiện các hạng tử bậc hai và bậc một riêng lẻ. Đối với hạng tử bậc hai, chúng ta cần tìm một số để hoàn thiện khối vuông hoàn chỉnh. Đối với hạng tử bậc một, chúng ta cần tìm một số để hoàn thiện khối chữ nhật hoàn chỉnh. Đối với hạng tử bậc hai 2x^2 - 4xy, chúng ta có thể nhân với 2 để hoàn thiện khối vuông hoàn chỉnh: 2(2x^2 - 4xy) = 4x^2 - 8xy Đối với hạng tử bậc hai 4y^2 + 6y - 4y, chúng ta có thể nhân với 4 để hoàn thiện khối vuông hoàn chỉnh: 4(4y^2 + 6y - 4y) = 16y^2 + 24y - 16y Đối với hạng tử bậc một 6y - 4y, chúng ta có thể nhân với 5 để hoàn thiện khối chữ nhật hoàn chỉnh: 5(6y - 4y) = 30y - 20y Sau khi hoàn thiện các hạng tử, phương trình ban đầu trở thành: 4x^2 - 8xy + 16y^2 + 24y - 16y + 2028 Tiếp theo, chúng ta cần nhóm các thành phần của phương trình theo từng biến: (4x^2 - 8xy) + (16y^2 + 24y - 16y) + 2028 Bây giờ, chúng ta có thể nhân các hạng tử bậc hai và bậc một riêng lẻ: 4(x^2 - 2xy) + 16(y^2 + 24y - 16y) + 2028 Đối với hạng tử bậc hai x^2 - 2xy, chúng ta có thể hoàn thiện khối vuông hoàn chỉnh bằng cách thêm vào một số: (x^2 - 2xy + y^2) - y^2 Đối với hạng tử bậc hai y^2 + 24y - 16y, chúng ta có thể hoàn thiện khối vuông hoàn chỉnh bằng cách thêm vào một số: (y^2 + 24y - 16y + 144) - 144 Đối với hạng tử bậc một 2028, chúng ta có thể hoàn thiện khối chữ nhật hoàn chỉnh bằng cách thêm vào một số: 2028 - 144 Sau khi hoàn thiện các hạng tử, phương trình ban đầu trở thành: 4(x^2 - 2xy + y^2) - 4y^2 + 16(y^2 + 24y - 16y + 144) + 2028 - 144 Bây giờ, chúng ta có thể rút gọn các thành phần của phương trình: 4(x - y)^2 + 16(y + 12)^2 + 1884 Tiếp theo, chúng ta cần đặt phương trình này về dạng chuẩn của một phương trình bậc hai: 4(x - y)^2 + 16(y + 12)^2 + 1884 = 0 Bây giờ, chúng ta đã có phương trình bậc hai hoàn chỉnh. Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bậc hai. Tuy nhiên, để tiết kiệm thời gian, chúng ta có thể nhận thấy rằng các hạng tử bậc hai không thể âm và không thể bằng 0 đồng thời. Vì vậy, để phương trình bậc hai có giá trị bằng 0, chúng ta cần phần còn lại của phương trình là 0: 16(y + 12)^2 + 1884 = 0 Tiếp theo, chúng ta có thể giải phương trình này bằng cách di chuyển các thành phần: 16(y + 12)^2 = -1884 Sau đó, chúng ta chia cả hai phía của phương trình cho 16: (y + 12)^2 = -117.75 Bây giờ, chúng ta đã có một phương trình bậc hai đơn giản. Để giải phương trình này, chúng ta có thể lấy căn bậc hai của cả hai phía của phương trình: y + 12 = \pm \sqrt{-117.75} Tuy nhiên, căn bậc hai của một số âm không tồn tại trong tập số thực. Vì vậy, phương trình này không có giải thực. Tuy nhiên, nếu chúng ta mở rộng tập số từ số thực sang số phức, chúng ta có thể tìm được các giá trị phức của y. Căn bậc hai của một số âm trong tập số phức được ký hiệu bằng j. Vì vậy, chúng ta có: y + 12 = \pm \sqrt{-117.75} y = -12 \pm \sqrt{117.75}j Bây giờ, chúng ta đã tìm được các giá trị phức của y. Để tìm các giá trị tương ứng của x, chúng ta có thể sử dụng phương trình ban đầu: 2x^2 - 4xy + 4y^2 + 6y - 4y + 2028 = 0 Thay thế y bằng -12 + \sqrt{117.75}j và y bằng -12 - \sqrt{117.75}j vào phương trình trên, chúng ta có thể giải phương trình để tìm các giá trị tương ứng của x. Sau khi giải phương trình, chúng ta sẽ tìm được các giá trị của x tương ứng với từng giá trị của y.