tìm giá trị nhỏ nhỏ nhất cảu đa thức M=x^2+6y^2+2y+36-12x-2xy

Question

KoiDuaDoi · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
M=x^{2} +6y^{2} +2y+36-12x-2xy\
=x^{2} -2xy+y^{2} -12x+12y+36+5y^{2} -10y+5-5\
=( x-y)^{2} -12( x-y) +6^{2} +5\left( y^{2} -2y+1 ight) -5\
=( x-y-6)^{2} +5( y-1)^{2} -5\geqslant -5\
\left(( x-y-6)^{2} \geqslant 0\forall x,y;\ ( y-1)^{2} \geqslant 0\forall y ight)\
\Longrightarrow \ min\ M=-5
\end{array}$
Dấu bằng xảy ra $\displaystyle \Leftrightarrow y=1;\ x=7$

Timi · Answer

Đầu tiên, chúng ta cần xác định loại bài toán này. Đây là một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số đa thức.

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chuẩn
Bước 2: Tìm điểm cực trị của hàm số
Bước 3: So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và cận của hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất

Bây giờ, chúng ta sẽ giải quyết bài toán theo từng bước:

Bước 1: Đưa hàm số về dạng chuẩn
Hàm số đã cho là $M=x^2+6y^2+2y+36-12x-2xy$. Chúng ta có thể viết lại nó như sau:
$M=(x-6)^2+6(y+\frac{1}{6})^2+35$

Bước 2: Tìm điểm cực trị của hàm số
Đạo hàm của hàm số theo x và y lần lượt là:
$\frac{dM}{dx}=2(x-6)-2y=0$
$\frac{dM}{dy}=12(y+\frac{1}{6})-2x=0$
Giải hệ phương trình này, ta được $x=6$, $y=-\frac{1}{6}$

Bước 3: So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và cận của hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất
Thay $x=6$, $y=-\frac{1}{6}$ vào hàm số, ta được $M=35$
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 35.