cho a,b,c là các số thực dương. chứng minh rằng (b+c)^2/bc+(c+a)^2/ca+(a+b)^2/ab≥9+2(a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)

Question

longnguyen · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} A=\frac{( b+c)^{2}}{bc} +\frac{( a+c)^{2}}{ac} +\frac{( a+b)^{2}}{ab}\ =\frac{b^{2} +2bc+c^{2}}{bc} +\frac{a^{2} +2ac+c^{2}}{ac} +\frac{a^{2} +2ab+b^{2}}{ab}\ =\frac{b}{c} +\frac{c}{b} +\frac{a}{c} +\frac{c}{a} +\frac{a}{b} +\frac{b}{a} +6 \end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương a,b,c:

$ $$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \frac{b}{c} +\frac{c}{b} \geqslant 2\sqrt{\frac{b}{c} .\frac{c}{b}}\ \Longrightarrow \frac{b}{c} +\frac{c}{b} \geqslant 2 \end{array}$

chứng minh tương tự:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \frac{a}{c} +\frac{c}{a} \geqslant 2;\frac{a}{b} +\frac{b}{a} \geqslant 2\ \Longrightarrow A\geqslant 12\ \ \ \ \ \ \ ( \ 1) \end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức: $\displaystyle \frac{1}{x} +\frac{1}{y} \geqslant \frac{4}{x+y}$ Ta có: $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \frac{a}{b} +\frac{a}{c} \geqslant 4.\frac{a}{b+c} ;\frac{b}{a} +\frac{b}{c} \geqslant 4.\frac{b}{a+c} ;\frac{c}{a} +\frac{c}{b} \geqslant 4.\frac{c}{a+b}\ \Longrightarrow A\geqslant 4\left(\frac{a}{b+c} +\frac{b}{a+c} +.\frac{c}{a+b} ight) +6\ \ \ \ ( 2) \end{array}$ $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} ( 1) +( 2) \Longrightarrow 2A\geqslant 18+4\left(\frac{a}{b+c} +\frac{b}{a+c} +.\frac{c}{a+b} ight)\ \Longrightarrow A\geqslant 9+2\left(\frac{a}{b+c} +\frac{b}{a+c} +.\frac{c}{a+b} ight) \ \ ( dpcm) \end{array}$

Timi · Answer

Đầu tiên, chúng ta cần xác định loại bài toán này. Đây là một bài toán về bất đẳng thức trong số học, sử dụng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức như phương pháp đặt giả thuyết, phương pháp biến đổi hai vế bất đẳng thức, và phương pháp sử dụng các công thức đã biết.

Các bước giải quyết bài toán này như sau:

Bước 1: Đặt giả thuyết. Chúng ta có thể giả sử rằng a, b, c là các cạnh của tam giác. Điều này giúp chúng ta áp dụng được các công thức và tính chất của tam giác vào bài toán.

Bước 2: Biến đổi hai vế bất đẳng thức. Chúng ta cần biến đổi hai vế bất đẳng thức sao cho chúng trở nên dễ so sánh hơn.

Bước 3: Sử dụng các công thức đã biết. Trong trường hợp này, chúng ta có thể sử dụng công thức của tổng bình phương hai số và công thức của tổng nghịch đảo.

Bắt đầu giải bài toán:

Bước 1: Đặt giả thuyết. Giả sử a, b, c là các cạnh của tam giác, ta có a, b, c > 0.

Bước 2: Biến đổi hai vế bất đẳng thức.

Ta có:

$$(b+c)^2/bc+(c+a)^2/ca+(a+b)^2/ab \geq 9+2(a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b))$$

Biến đổi hai vế, ta được:

$$\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ca}+\frac{(a+b)^2}{ab} - 9 - 2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right) \geq 0$$

Bước 3: Sử dụng các công thức đã biết.

Áp dụng công thức tổng bình phương hai số và công thức tổng nghịch đảo, ta có:

$$\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ca}+\frac{(a+b)^2}{ab} - 9 - 2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)$$

$$= \frac{b^2+2bc+c^2}{bc} + \frac{c^2+2ca+a^2}{ca} + \frac{a^2+2ab+b^2}{ab} - 9 - 2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)$$

$$= 2(a+b+c) + \frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab} - 9 - 2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)$$

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân), ta có:

$$\frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc} \cdot \frac{b^2}{ca} \cdot \frac{c^2}{ab}} = 3(a+b+c)$$

Và

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$$

Do đó, ta có:

$$2(a+b+c) + \frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab} - 9 - 2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right) \geq 2(a+b+c) + 3(a+b+c) - 9 - 3 = 0$$

Vậy, bất đẳng thức đã chứng minh.

Nguyên siêu siêu siêu siêu siêu siêu siêu đẹp trai · Answer

{"userId":5139291,"userName":"Kieu Tran Dung"}

Để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số (b+c)/√(bc), (c+a)/√(ca), và (a+b)/√(ab), ta có:
[(b+c)^2/bc + (c+a)^2/ca + (a+b)^2/ab] * [bc + ca + ab] ≥ [(b+c) + (c+a) + (a+b)]^2
Simplifying the left side of the inequality, we have:
[(b+c)^2/bc + (c+a)^2/ca + (a+b)^2/ab] * [bc + ca + ab] ≥ (2a + 2b + 2c)^2
Simplifying the right side of the inequality, we have:
[(b+c)^2/bc + (c+a)^2/ca + (a+b)^2/ab] * [bc + ca + ab] ≥ 4(a + b + c)^2
Dividing both sides of the inequality by (bc + ca + ab), we get:
[(b+c)^2/bc + (c+a)^2/ca + (a+b)^2/ab] ≥ 4(a + b + c)^2 / (bc + ca + ab)
Now, we need to prove that 4(a + b + c)^2 / (bc + ca + ab) ≥ 9 + 2(a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)).
Expanding and simplifying the right side of the inequality, we have:
4(a + b + c)^2 / (bc + ca + ab) ≥ 9 + 2(a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b))
4(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) / (bc + ca + ab) ≥ 9 + 2(a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b))
4(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) ≥ 9(bc + ca + ab) + 2a(b+c) + 2b(a+c) + 2c(a+b)
Expanding and simplifying both sides of the inequality, we have:
4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 8ab + 8ac + 8bc ≥ 9bc + 9ca + 9ab + 2ab + 2ac + 2bc + 2ab + 2bc + 2ac
4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 6ab + 6ac + 6bc ≥ 9bc + 9ca + 9ab + 4ab + 4ac + 4bc
4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 2ab + 2ac + 2bc ≥ 9bc + 9ca + 9ab
3a^2 + 3b^2 + 3c^2 ≥ 7bc + 7ca + 7ab
This inequality can be proved using the AM-GM inequality:
a^2 + a^2 + b^2 ≥ 3√(a^2 * a^2 * b^2) = 3ab
b^2 + b^2 + c^2 ≥ 3√(b^2 * b^2 * c^2) = 3bc
c^2 + c^2 + a^2 ≥ 3√(c^2 * c^2 * a^2) = 3ca
Adding these three inequalities, we get:
2(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 3(ab + bc + ca)
Multiplying both sides by 3, we have:
6(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 9(ab + bc + ca)
Adding this inequality to the previous inequality, we have:
9(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 16(ab + bc + ca)
This proves that:
4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 2ab + 2ac + 2bc ≥ 9bc + 9ca + 9ab
Therefore, we have:
[(b+c)^2
9:58