Cho a+b+c chia hết cho 6;a,b,c là hằng số
Chứng minh (a+b)(b+c)(c+a)-2abc chia hết cho 6

Question

voanhtri · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
M=( a+b)( b+c)( c+a) -2abc\
M=\left( ab+ac+b^{2} +bc ight)( c+a) -2abc\
M=abc+a^{2} b+ac^{2} +a^{2} c+b^{2} c+b^{2} a+abc-2abc\
M=a^{2} b+ac^{2} +a^{2} c+b^{2} c+b^{2} a+bc^{2}\
M=ab( a+b) +bc( b+c) +ac( a+c)\
M=ab( a+b) +abc+bc( b+c) +abc+ac( a+c) +abc-3abc\
M=ab( a+b+c) +bc( a+b+c) +ac( a+b+c) -3abc\
M=( a+b+c)( ab+bc+ac) -3abc
\end{array}$
Nhận xét ta có
$\displaystyle a+b+c$ chia hết cho 6
Suy ra trong 3 số $\displaystyle a;b;c$ có ít nhất một số là số chẵn
Suy ra $\displaystyle abc\ \vdots 2$
Suy ra$\displaystyle \ 3abc\ \vdots 6$
Lại có $\displaystyle ( a+b+c)( ab+bc+ac) \ \vdots 6$ (vì $\displaystyle a+b+c\ \vdots 6)$
Suy ra
$\displaystyle ( a+b+c)( ab+bc+ac) -3abc$ chia hết cho 6 (điều phải chứng minh)

Timi · Answer

Để chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)-2abc chia hết cho 6 khi a+b+c chia hết cho 6, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh theo quy tắc chia hết.

Bước 1: Gọi k là một số nguyên bất kỳ sao cho a+b+c = 6k. Ta có thể viết lại a+b+c = 6k thành a+b+c-6k = 0.

Bước 2: Đặt A = (a+b)(b+c)(c+a)-2abc. Ta cần chứng minh A chia hết cho 6.

Bước 3: Thay thế a+b+c = 6k vào biểu thức A, ta có:
A = (a+b)(b+c)(c+a)-2abc
  = (6k-b-c)(b+c)(c+6k-b-c)-2(6k-b-c)bc
  = (6k-b-c)(b+c)(c-b-6k)-2(6k-b-c)bc

Bước 4: Chú ý rằng (6k-b-c) chia hết cho 6, vì a+b+c-6k = 0 và a+b+c chia hết cho 6. Vì vậy, ta có thể viết lại A thành:
A = 6(6k-b-c)(b+c)(c-b-6k)-2(6k-b-c)bc

Bước 5: Ta sẽ chứng minh rằng A chia hết cho 6 bằng cách chứng minh rằng mỗi thành phần trong biểu thức A đều chia hết cho 6.

Bước 6: Đầu tiên, ta xét 6(6k-b-c). Vì 6 chia hết cho 6 và (6k-b-c) cũng chia hết cho 6, nên tích của chúng cũng chia hết cho 6.

Bước 7: Tiếp theo, ta xét (b+c)(c-b-6k). Ta có thể viết lại biểu thức này thành (b+c)(-b-c+6k). Vì b+c chia hết cho 6 và (-b-c+6k) cũng chia hết cho 6 (do a+b+c-6k = 0), nên tích của chúng cũng chia hết cho 6.

Bước 8: Cuối cùng, ta xét -2(6k-b-c)bc. Vì -2 chia hết cho 6 và (6k-b-c) cũng chia hết cho 6, nên tích của chúng cũng chia hết cho 6. Bên cạnh đó, bc chia hết cho 6 vì a+b+c chia hết cho 6.

Bước 9: Từ các bước trên, ta kết luận rằng mỗi thành phần trong biểu thức A đều chia hết cho 6. Vì vậy, A chia hết cho 6.

Bước 10: Do đó, ta đã chứng minh được rằng (a+b)(b+c)(c+a)-2abc chia hết cho 6 khi a+b+c chia hết cho 6.

Upgrade Titan Cinemaman · Answer

{"userId":5057552,"userName":"Minh Nhật"} Đẹp Zai

Để chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a) - 2abc chia hết cho 6 khi a + b + c chia hết cho 6, ta sẽ sử dụng định lý Euclide.
Theo định lý Euclide, nếu một số nguyên chia hết cho một số nguyên khác, thì hiệu của hai số đó cũng chia hết cho số nguyên đó. Vì vậy, để chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) - 2abc chia hết cho 6, ta chỉ cần chứng minh rằng a+b, b+c và c+a đều chia hết cho 6.
Vì a + b + c chia hết cho 6, ta có thể viết lại thành a + b + c = 6k, trong đó k là một số nguyên.
Tiếp theo, ta có:
a + b = (a + b + c) - c = 6k - c
b + c = (a + b + c) - a = 6k - a
c + a = (a + b + c) - b = 6k - b
Ta thấy rằng a + b, b + c và c + a đều có dạng 6k - m, trong đó m là một số nguyên. Điều này có nghĩa là a + b, b + c và c + a đều chia hết cho 6.
Vì vậy, (a+b)(b+c)(c+a) - 2abc chia hết cho 6 khi a + b + c chia hết cho 6.
Đây là cách chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a) - 2abc chia hết cho 6 khi a + b + c chia hết cho 6.

Cho a+b+c chia hết cho 6;a,b,c là hằng số Chứng minh (a+b)(b+c)(c+a)-2abc chia hết cho 6