mng giúp em với

Câu 1.1: Cho tam giác ABC vuông tại A, $AB=6, BC=10.$ Chúng ta cần tính cạnh $AC$ và các góc $B'$ và $C'.$ Để tính cạnh $AC,$ chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagoras. Định lý Pythagoras nói rằng trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác ABC, ta có: \[AC^2 = AB^2 + BC^2\] \[AC^2 = 6^2 + 10^2\] \[AC^2 = 36 + 100\] \[AC^2 = 136\] Để tính cạnh $AC,$ chúng ta cần lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình trên: \[AC = \sqrt{136}\] \[AC \approx 11.6619\] Để tính góc $B',$ chúng ta có thể sử dụng công thức $\sin.$ Công thức $\sin$ nói rằng tỉ lệ giữa cạnh đối diện và cạnh huyền trong một tam giác vuông là không đổi. Áp dụng công thức $\sin$ vào tam giác ABC, ta có: \[\sin B' = \frac{BC}{AC}\] \[\sin B' = \frac{10}{11.6619}\] \[\sin B' \approx 0.8561\] Để tính góc $B',$ chúng ta cần lấy giá trị arcsin của cả hai vế của phương trình trên: \[B' = \arcsin(0.8561)\] \[B' \approx 30.9638\] Tương tự, để tính góc $C',$ chúng ta có thể sử dụng công thức $\cos.$ Công thức $\cos$ nói rằng tỉ lệ giữa cạnh kề và cạnh huyền trong một tam giác vuông là không đổi. Áp dụng công thức $\cos$ vào tam giác ABC, ta có: \[\cos C' = \frac{BC}{AC}\] \[\cos C' = \frac{10}{11.6619}\] \[\cos C' \approx 0.8572\] Để tính góc $C',$ chúng ta cần lấy giá trị arccos của cả hai vế của phương trình trên: \[C' = \arccos(0.8572)\] \[C' \approx 59.0362\] Để tính diện tích tam giác ABC, chúng ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác vuông: \[S = \frac{1}{2} \times AB \times BC\] \[S = \frac{1}{2} \times 6 \times 10\] \[S = 30\] Vậy, cạnh $AC \approx 11.6619,$ góc $B' \approx 30.9638,$ góc $C' \approx 59.0362,$ và diện tích tam giác $S = 30.$ Câu 1.2: Cho tam giác ABC vuông tại B, $AB=4, BAC=60^0.$ Chúng ta cần tính cạnh $AC,$ cạnh $BC,$ và góc $C'.$ Để tính cạnh $AC,$ chúng ta có thể sử dụng công thức $\sin.$ Áp dụng công thức $\sin$ vào tam giác ABC, ta có: \[\sin BAC = \frac{AC}{AB}\] \[\sin 60^0 = \frac{AC}{4}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{4}\] \[AC = \frac{4\sqrt{3}}{2}\] \[AC = 2\sqrt{3}\] Để tính cạnh $BC,$ chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagoras. Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác ABC, ta có: \[BC^2 = AC^2 + AB^2\] \[BC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 4^2\] \[BC^2 = 12 + 16\] \[BC^2 = 28\] \[BC = \sqrt{28}\] \[BC = 2\sqrt{7}\] Để tính góc $C',$ chúng ta có thể sử dụng công thức $\cos.$ Áp dụng công thức $\cos$ vào tam giác ABC, ta có: \[\cos C' = \frac{BC}{AC}\] \[\cos C' = \frac{2\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}\] \[\cos C' = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\] \[C' = \arccos\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\right)\] Vậy, cạnh $AC = 2\sqrt{3},$ cạnh $BC = 2\sqrt{7},$ và góc $C' = \arccos\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\right).$ Câu 1.3: Cho tam giác ABC vuông tại C, $AC=3, BC=4.$ Chúng ta cần tính cạnh $AB,$ góc $B',$ và góc $A'.$ Để tính cạnh $AB,$ chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagoras. Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác ABC, ta có: \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] \[AB^2 = 3^2 + 4^2\] \[AB^2 = 9 + 16\] \[AB^2 = 25\] \[AB = \sqrt{25}\] \[AB = 5\] Để tính góc $B',$ chúng ta có thể sử dụng công thức $\sin.$ Áp dụng công thức $\sin$ vào tam giác ABC, ta có: \[\sin B' = \frac{BC}{AB}\] \[\sin B' = \frac{4}{5}\] \[B' = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right)\] Để tính góc $A',$ chúng ta có thể sử dụng công thức $\cos.$ Áp dụng công thức $\cos$ vào tam giác ABC, ta có: \[\cos A' = \frac{AC}{AB}\] \[\cos A' = \frac{3}{5}\] \[A' = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)\] Vậy, cạnh $AB = 5,$ góc $B' = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right),$ và góc $A' = \arccos\left(\frac{3}{5}\right).$ Câu 1.4: Cho tam giác ABC biết $a=6, b=9, c=8.$ Chúng ta cần tính các góc A, B, C và diện tích tam giác. Để tính góc A, chúng ta có thể sử dụng định lý cosin. Áp dụng định lý cosin vào tam giác ABC, ta có: \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\] \[6^2 = 9^2 + 8^2 - 2(9)(8)\cos A\] \[36 = 81 + 64 - 144\cos A\] \[36 = 145 - 144\cos A\] \[-109 = -144\cos A\] \[\cos A = \frac{-109}{-144}\] \[\cos A \approx 0.7569\] \[A = \arccos(0.7569)\] \[A \approx 40.8044\] Để tính góc B, chúng ta có thể sử dụng định lý cosin. Áp dụng định lý cosin vào tam giác ABC, ta có: \[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\] \[9^2 = 6^2 + 8^2 - 2(6)(8)\cos B\] \[81 = 36 + 64 - 96\cos B\] \[81 = 100 - 96\cos B\] \[-19 = -96\cos B\] \[\cos B = \frac{-19}{-96}\] \[\cos B \approx 0.1979\] \[B = \arccos(0.1979)\] \[B \approx 78.5848\] Để tính góc C, chúng ta có thể sử dụng định lý cosin. Áp dụng định lý cosin vào tam giác ABC, ta có: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\] \[8^2 = 6^2 + 9^2 - 2(6)(9)\cos C\] \[64 = 36 + 81 - 108\cos C\] \[64 = 117 - 108\cos C\] \[-53 = -108\cos C\] \[\cos C = \frac{-53}{-108}\] \[\cos C \approx 0.4902\] \[C = \arccos(0.4902)\] \[C \approx 60.6107\] Để tính diện tích tam giác, chúng ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác Heron. Áp dụng công thức diện tích tam giác Heron vào tam giác ABC, ta có: \[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] trong đó $s$ là nửa chu vi của tam giác, được tính bằng công thức $s = \frac{a+b+c}{2}.$ Áp dụng công thức diện tích tam giác Heron vào tam giác ABC, ta có: \[s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+9+8}{2} = \frac{23}{2}\] \[S = \sqrt{\frac{23}{2}\left(\frac{23}{2}-6\right)\left(\frac{23}{2}-9\right)\left(\frac{23}{2}-8\right)}\] \[S = \sqrt{\frac{23}{2}\left(\frac{23}{2}-6\right)\left(\frac{23}{2}-9\right)\left(\frac{23}{2}-8\right)}\] \[S = \sqrt{\frac{23}{2}\left(\frac{11}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{7}{2}\right)}\] \[S = \sqrt{\frac{23}{2}\left(\frac{11}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{7}{2}\right)}\] \[S = \sqrt{\frac{23}{2}\left(\frac{11}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{7}{2}\right)}\] \[S \approx 12.9904\] Vậy, góc A ≈ 40.8044, góc B ≈ 78.5848, góc C ≈ 60.6107, và diện tích tam giác S ≈ 12.9904. Câu 1.5: Cho tam giác ABC biết $a=6, b=5, C=60^0.$ Chúng ta cần tính cạnh c và các góc A, B, và diện tích tam giác. Để tính cạnh c, chúng ta có thể sử dụng định lý sin. Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC, ta có: \[\sin C = \frac{c}{a}\] \[\sin 60^0 = \frac{c}{6}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c}{6}\] \[c = \frac{6\sqrt{3}}{2}\] \[c = 3\sqrt{3}\] Để tính góc A, chúng ta có thể sử dụng định lý sin. Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC, ta có: \[\sin A = \frac{a}{c}\] \[\sin A = \frac{6}{3\sqrt{3}}\] \[\sin A = \frac{2}{\sqrt{3}}\] \[A = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\] Để tính góc B, chúng ta có thể sử dụng định lý sin. Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC, ta có: \[\sin B = \frac{b}{c}\] \[\sin B = \frac{5}{3\sqrt{3}}\] \[\sin B = \frac{5}{3\sqrt{3}}\] \[B = \arcsin\left(\frac{5}{3\sqrt{3}}\right)\] Để tính diện tích tam giác, chúng ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác Heron. Áp dụng công thức diện tích tam giác Heron vào tam giác ABC, ta có: \[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] trong đó $s$ là nửa chu vi của tam giác, được tính bằng công thức $s = \frac{a+b+c}{2}.$ Áp dụng công thức diện tích tam giác Heron vào tam giác ABC, ta có