Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.

Loại bài toán này là bài toán tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn một số điều kiện cho trước. Đây là một bài toán thuộc lớp bài toán về số dư và Bézout. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng ý tưởng về Bội chung nhỏ nhất (BCNN) và Ước chung lớn nhất (ƯCLN). Cụ thể, chúng ta cần tìm số tự nhiên nhỏ nhất $x$ sao cho: $x \equiv 1 \pmod{3}$, $x \equiv 2 \pmod{4}$, $x \equiv 3 \pmod{5}$, $x \equiv 4 \pmod{6}$, và $x$ chia hết cho 11. Bước 1: Tìm BCNN của 3, 4, 5, 6. Ta có $BCNN(3,4,5,6) = 60$. Bước 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $x$ sao cho $x \equiv 4 \pmod{60}$ (do 4 là số dư lớn nhất trong các số dư đã cho) và $x$ chia hết cho 11. Để tìm $x$, ta thử các giá trị của $x$ từ 4, cộng thêm 60 cho đến khi tìm được số chia hết cho 11. Bước 3: Kiểm tra xem số $x$ tìm được có thỏa mãn tất cả các điều kiện đã cho hay không. Bây giờ, hãy bắt đầu giải quyết bài toán này. Bước 1: Ta đã biết $BCNN(3,4,5,6) = 60$. Bước 2: Bắt đầu từ 4, ta thử các giá trị của $x$ là 4, 64, 124, 184,... cho đến khi tìm được số chia hết cho 11. Ta thấy rằng $x = 184$ chia hết cho 11. Bước 3: Kiểm tra xem 184 có thỏa mãn tất cả các điều kiện đã cho hay không. $184 \equiv 1 \pmod{3}$, $184 \equiv 2 \pmod{4}$, $184 \equiv 3 \pmod{5}$, $184 \equiv 4 \pmod{6}$, và $184$ chia hết cho 11. Vậy, số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện đã cho là 184.